如何判断一个数是不是质数

质数是指只能被1和自己整除的正整数，例如2、3、5、7、11、13等等。判断一个数是否为质数是数学中的基本问题之一，本文将介绍多种方法来判断一个数是否为质数。

一、试除法

试除法是最基本的一种方法，其思路是尝试用2到该数的平方根的所有整数去除该数，如果都不能整除，那么该数就是质数。相反，如果有一个数可以整除该数，那么该数就不是质数。

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

对于传入的n，首先判断其是否小于等于1，因为1不是质数。然后用一个循环从2到n的平方根来逐个判断是否可以整除n，如果可以整除，那么n就不是质数，直接返回False；否则n就是质数，返回True。

二、埃氏筛法

埃氏筛法是一种非常高效的筛选质数的方法，它的思路是从2开始，将所有能被2整除的数标记为合数，然后再以3为起点，将所有能被3整除的数标记为合数。不断重复这个过程，就能将小于等于n的质数全部筛选出来。

def eratosthenes(n):
    if n <= 1:
        return []
    nums = [i for i in range(2, n+1)]
    i = 0
    while i = len(nums):
            break
    return nums

对于传入的n，首先判断其是否小于等于1，因为1不是质数。然后初始化一个数组nums，用于存储2到n的所有整数。接着用一个循环，依次取出数组中的每个质数p，然后将所有能被p整除的数从数组中删除，最后返回剩下的数组即为所有小于等于n的质数。

三、费马小定理

费马小定理是一种用于判断质数的数论定理，其核心思想是通过快速幂来进行模运算，从而判断一个数是否为质数。

def is_prime_fermat(n, k=5):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2 or n == 3:
        return True
    for i in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        if pow(a, n - 1, n) != 1:
            return False
    return True

对于传入的n，首先判断其是否小于等于1，因为1不是质数。然后判断n是否等于2或3，如果是，则n为质数。接着进行k次随机测试，每次随机选择一个2到n-2之间的整数a，判断是否满足a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，如果所有的测试都通过了，那么n就可能是质数，返回True。注意，这里的k表示进行测试的次数，k越大，误判为质数的概率就越小。

四、米勒-拉宾素数检验

米勒-拉宾素数检验是一种基于费马小定理进行改进的算法，其思路是先将n-1分解成2^s * t的形式，然后随机选择一个2到n-2之间的整数a，计算a^t mod n的值，如果等于1或n-1，那么n可能是质数。否则，不断将a^t mod n进行平方运算，并检查结果是否等于n-1。如果能够通过k次测试，那么就认为n是质数。

def miller_rabin(n, k=5):
    if n <= 1:
        return False
    if n == 2 or n == 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False
    s = 0
    t = n - 1
    while t % 2 == 0:
        t //= 2
        s += 1
    for i in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        x = pow(a, t, n)
        if x == 1 or x == n - 1:
            continue
        for j in range(s - 1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n - 1:
                break
        else:
            return False
    return True

对于传入的n，首先判断其是否小于等于1，因为1不是质数。然后判断n是否等于2或3，如果是，则n为质数。接着判断n是否为偶数，如果是，则n不是质数。然后将n-1分解成2^s * t的形式，其中t是奇数，s是非负整数。接着进行k次随机测试，每次随机选择一个2到n-2之间的整数a，计算a^t mod n的值，如果等于1或n-1，那么继续下一轮循环。否则，不断将a^t mod n进行平方运算，并检查是否等于n-1。如果k次测试都通过了，那么n可能是质数，返回True。