Python数学建模算法与应用PDF

一、简介

Python数学建模是指使用Python编程语言来实现数学模型和算法。Python作为一种高级编程语言，被广泛地适用于科学计算、数据分析和人工智能等领域，成为了数学建模的首选语言之一。Python数学建模的主要特点是语法简洁而强大、拥有强大的科学计算和数据处理库以及可视化工具。

二、基础算法

1、线性规划

from scipy.optimize import linprog

c = [-1, 4] # 目标函数系数，即z = -x + 4y
A = [[3, 1], [-1, 2]] # 约束条件的系数矩阵
b = [9, 4] # 约束条件的值
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) # 调用线性规划函数，求解最优解
print(res.fun, res.x) # 输出最小值与取到最小值时的自变量取值

2、非线性规划

from scipy.optimize import minimize

def objective(x): # 定义目标函数
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint(x): # 定义约束条件
    return x[0] + x[1] - 3

cons = {'type': 'eq', 'fun': constraint} # 约束条件
res = minimize(objective, [1, 1], constraints=cons) # 调用非线性规划函数，求解最优解
print(res.fun, res.x) # 输出最小值与取到最小值时的自变量取值

3、差分方程

import numpy as np

def f(x, t, alpha): # 定义差分方程
    return alpha * (x[1:] - x[:-1])

alpha = 1.2 # 参数
x0 = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) # 初值
t = np.linspace(0, 1, 5) # 时间
from scipy.integrate import odeint
x = odeint(f, x0, t, args=(alpha,)) # 调用数值积分函数，得到近似解
print(x)

三、应用案例

1、人口增长模型

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N0 = 10 # 初始人口数
r = 0.1 # 出生率
K = 100 # 环境承载能力
t = np.linspace(0, 50, 1000) # 时间步长
N = K * N0 / (N0 + (K - N0) * np.exp(-r * t)) # 这里求解ODE，获得人口随时间的变化曲线

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, N, label='Population')
ax.set(xlabel='Time (year)', ylabel='Number of Population', title='Population Growth Model')
ax.legend()
plt.show()

2、机器学习

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score

iris = load_iris()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.25, random_state=42)
model = RandomForestClassifier(n_estimators=100, random_state=42)
model.fit(X_train, y_train)
y_pred = model.predict(X_test)
acc = accuracy_score(y_test, y_pred)
print('Accuracy:', acc)

3、深度学习

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers

model = tf.keras.Sequential([
    layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(784,)),
    layers.Dense(64, activation='relu'),
    layers.Dense(10, activation='softmax')
])

model.compile(optimizer=tf.keras.optimizers.Adam(),
              loss=tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(),
              metrics=[tf.keras.metrics.SparseCategoricalAccuracy()])

(X_train, y_train), (X_test, y_test) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
X_train, X_test = X_train / 255.0, X_test / 255.0
model.fit(X_train, y_train, epochs=5, validation_data=(X_test, y_test))

四、总结

Python数学建模是一种高效、灵活、易于实现的数学建模方法，广泛应用于科学计算、数据分析和人工智能等领域。通过本文的介绍，我们可以了解到Python数学建模的基本原理和应用方法，并实现了线性规划、非线性规划、差分方程等算法，以及人口增长模型、机器学习和深度学习的应用案例。该领域仍在不断发展，Python数学建模将在未来发挥更重要的作用。