PCA參數解釋

本文將從多個方面介紹PCA（Principal Components Analysis，主成分分析）參數，包括如何選擇主成分個數、選擇特徵值大小的閾值和如何對原始數據進行歸一化處理。

一、主成分個數確定

主成分個數指在進行PCA降維時，需要從數據的若干個方向中選擇幾個作為新的基準方向。一般來說，會選擇方差較大的前幾個方向作為主成分。但是如何確定具體選擇幾個主成分呢？

有兩種方法可以進行選擇：

1.根據經驗或者業務需求確定主成分個數

在某些場景下，根據業務需求或者經驗，可以確定主成分個數。比如，如果進行壓縮圖片，在不損失太多畫質的情況下，可以選擇前10個主成分進行壓縮。

2.通過累計特徵值貢獻率選擇主成分個數

特徵值是PCA方法的一個重要參數，表示在不同方向上數據的離散程度。特徵值越大，說明在該方向上數據的離散程度越大。累計特徵值貢獻率表示前k個主成分所包含的方差佔總方差的比例。通常選擇累計特徵值貢獻率大於0.9時的主成分個數。

二、特徵值大小的閾值選擇

雖然選擇主成分個數比較容易，但是選擇特徵值大小的閾值卻比較困難。因為不同數據集中的特徵值大小相差甚遠，如果直接按照大小進行選擇，可能會損失一些重要信息。

因此，可以通過畫出特徵值大小和主成分個數的折線圖，通過直觀判斷選擇合適的特徵值閾值。一般來說，隨著主成分個數的增加，特徵值會呈現下降趨勢。可以選擇特徵值折線圖中的「拐點」處的特徵值作為閾值。

三、原始數據歸一化處理

在進行PCA分析時，需要對原始數據進行歸一化處理。這是因為不同特徵之間的度量單位不同，如果不進行歸一化處理，可能會導致結果不準確。

常用的歸一化方法為Z-score標準化，即將數據減去均值，再除以標準差。假設原始數據為$m$行$n$列的矩陣$X=\left[x_{i,j}\right]$，那麼進行歸一化處理後得到的數據矩陣$X’$的表達式為：

$$
x'_{i,j} = \frac{x_{i,j} - \mu_j}{\sigma_j}
$$

其中，$\mu_j$為第$j$列的均值，$\sigma_j$為第$j$列的標準差。

四、代碼實現

下面是Python中使用sklearn庫進行PCA分析的示例代碼：

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 載入數據
X = ...

# 數據歸一化處理
sc = StandardScaler()
X_std = sc.fit_transform(X)

# 選擇主成分個數
pca = PCA(n_components=0.9)
X_pca = pca.fit_transform(X_std)

# 列印特徵值、特徵向量和主成分貢獻率
print('Explained variance ratio:', pca.explained_variance_ratio_)
print('Eigenvalues:', pca.explained_variance_)
print('Eigenvectors:', pca.components_)