求素數的個數兩種解法求解時間分析

本文將詳細闡述兩種求素數的個數的解法，分別是暴力枚舉法和埃氏篩法，並對它們的時間複雜度和應用場景進行分析。

一、暴力枚舉法

暴力枚舉法是最樸素的解法，從2開始，依次枚舉2~n中的每一個數，判斷它是否為素數，如果是，素數個數+1。判斷某個數是否為素數，可以用它是否能被2~根號n之間的任意一個整數整除來判斷。

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for(int i = 2; i < n; i++) {
        bool isPrime = true;
        for(int j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
            if(i % j == 0) {
                isPrime = false;
                break;
            }
        }
        if(isPrime)
            count++;
    }
    return count;
}

時間複雜度為O(n*sqrt(n))，空間複雜度為O(1)。顯然，暴力枚舉法並不適用於大規模的數據。

二、埃氏篩法

埃氏篩法是一種簡單而高效的篩法，它通過一個布爾數組來記錄每個數字是否為素數，初始時將所有元素設為true，從2開始，依次枚舉2~n中的每個數，如果該數為素數，則將它的倍數都標記為非素數。最後，統計布爾數組中true的個數即可。

int countPrimes(int n) {
    bool isPrime[n];
    memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
    int count = 0;
    for(int i = 2; i < n; i++) {
        if(isPrime[i]) {
            count++;
            for(int j = i*i; j < n; j += i)
                isPrime[j] = false;
        }
    }
    return count;
}

時間複雜度為O(n*log(log(n)))，空間複雜度為O(n)。相比於暴力枚舉法，埃氏篩法在處理大規模數據時表現更優秀。

三、總結

以上是兩種求素數的個數的解法，暴力枚舉法適用於小規模數據，時間複雜度較高，在處理大規模數據時會出現超時等問題；而埃氏篩法是一種高效的篩法，其時間複雜度較低，處理大規模數據時表現更加卓越。