梯度、散度、旋度的意義及應用

一、梯度

梯度，是矢量函數的微分運算，表示函數在該點變化最快的方向和大小，通俗地說，就是函數在某點的變化率，其形式化表示如下：

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial y}j + \frac{\partial f}{\partial z}k$$

其中，$\nabla$表示向量算符，$f$為標量函數，$i$、$j$、$k$為三維直角坐標系下的單位矢量。

梯度的坐標表示形式是：

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

梯度的幾何意義是，以某點為起點，沿著梯度的方向，函數變化最快，變化率最大，這個值就是梯度值。梯度不僅能衡量標量函數的變化率，對於向量函數$\vec{F}(x,y,z)$而言，其梯度是一個矩陣：

$$\nabla \vec{F} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z} \\
\frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z} \\
\frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z}
\end{bmatrix}$$

其意義是函數在某點的變化率以及變化的方向，用於描述場的變化趨勢，例如刻畫電場的變化趨勢。

下面是一個梯度的代碼實例：

import numpy as np

def gradient(f, hx, hy, hz):
    dfdx = np.gradient(f, hx, axis=0)
    dfdy = np.gradient(f, hy, axis=1)
    dfdz = np.gradient(f, hz, axis=2)
    return np.stack((dfdx,dfdy,dfdz), axis=3)

二、散度

散度是矢量場的微分運算，表示矢量場的流出或流入的量，描述矢量場在某點的流線發散的程度，其形式化表示如下：

$$\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

幾何上，散度衡量了一個點附近的場源的強度和分布，表示在這個點處，場源的產生或吸收程度。例如刻畫電荷分布的情況時，散度描述了電荷密度分布的緊密程度和電場強度的大小。

下面是一個散度的代碼實例：

import numpy as np

def divergence(F, hx, hy, hz):
    dfdx = np.gradient(F[:,:,:,0], hx, axis=0)
    dfdy = np.gradient(F[:,:,:,1], hy, axis=1)
    dfdz = np.gradient(F[:,:,:,2], hz, axis=2)
    return dfdx + dfdy + dfdz

三、旋度

旋度是矢量場的微分運算，表示矢量場的旋轉程度和旋轉的方向，其形式化表示如下：

$$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix}
i & j & k  \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F_x & F_y & F_z
\end{vmatrix}$$

幾何上，旋度刻畫了場源對矢量場旋轉的影響，即流線在一個點旋轉的強度和方向，用於分析流體的旋轉情況以及刻畫其他矢量場的旋轉情況。

下面是一個旋度的代碼實例：

import numpy as np

def curl(F, hx, hy, hz):
    dfdz = np.gradient(F[:,:,:,0], hz, axis=1, edge_order=2) - np.gradient(F[:,:,:,1], hy, axis=2, edge_order=2)
    dfdx = np.gradient(F[:,:,:,1], hx, axis=2, edge_order=2) - np.gradient(F[:,:,:,2], hz, axis=0, edge_order=2)
    dfdy = np.gradient(F[:,:,:,2], hy, axis=0, edge_order=2) - np.gradient(F[:,:,:,0], hx, axis=1, edge_order=2)
    return np.stack((dfdx,dfdy,dfdz), axis=3)

結語

本文詳細闡述了梯度、散度、旋度的定義、幾何意義和應用，並且給出了相應的代碼實例，感興趣的讀者可以結合實例進行學習和應用。