高斯聚類詳解

一、什麼是高斯聚類

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一種聚類演算法，它將每個數據點看作是由多個高斯分布組成的混合，每個高斯分布代表了一個簇。通過最大化似然函數來估計每個高斯分布的參數，從而得到聚類結果。

假設有N個數據點，每個數據點表示為x = [x1,x2,…,xd]，其中d是數據維度。高斯混合模型可以表示為：

p(x) = ∑k=1~K w_k * p(x|θ_k)

其中w_k是簇k的權重，θ_k是簇k的高斯分布的參數，p(x|θ_k)是給定參數θ_k時，樣本x來自簇k的概率密度函數。由於每個數據點都可以來自不同的簇，所以需要對所有簇的貢獻進行累加，最終得到數據點x的概率密度。

二、高斯聚類的求解過程

高斯聚類的求解過程包括三個步驟：

1. 初始化：

隨機初始化每個簇的高斯分布參數和權重。通常使用正態分布進行初始化，如下：

μ_k = 隨機初始化
Σ_k = 隨機初始化
w_k = 1/K

2. Expectation-Maximization迭代：

重複執行E步和M步，直到收斂：

E步（Expectation）：

計算每個數據點$x_i$屬於每個簇的概率：

γ_{ik} = p(z=k|x_i) = w_k * p(x_i|θ_k) / ∑j=1~K p(x_i|θ_j)

其中p(x_i|θ_k)表示給定簇k的高斯分布參數時，數據點x_i屬於簇k的概率密度函數，即：

p(x_i|θ_k) = multivariate_normal.pdf(x_i, μ_k, Σ_k)

其中multivariate_normal.pdf是多元高斯分布的概率密度函數。然後根據貝葉斯定理，計算每個數據點$x_i$屬於每個簇的後驗概率：

p(z=k|x_i) = γ_{ik}

M步（Maximization）：

根據E步計算得到的後驗概率，對每個簇的高斯分布參數和權重進行更新：

w_k = ∑i=1~N γ_{ik} / N
μ_k = ∑i=1~N γ_{ik} * x_i / ∑i=1~N γ_{ik}
Σ_k = ∑i=1~N γ_{ik} * (x_i - μ_k) * (x_i - μ_k)^T / ∑i=1~N γ_{ik}

3. 輸出聚類結果：

根據每個數據點對應的後驗概率，將數據點劃分到概率最大的簇中，得到最終的聚類結果。

三、高斯聚類的優缺點

1. 優點：

高斯聚類可以處理非常複雜的數據分布，因為每個簇的分布可以是任意形狀的高斯分布。此外，高斯聚類還可以處理雜訊數據和缺失值，因為它是基於概率模型的方法。

2. 缺點：

高斯聚類需要預設聚類個數，因此對於不確定聚類個數的數據集，需要使用啟發式方法或者手動調參來確定聚類個數。此外，高斯聚類對於初始值的敏感性較大，不同的初始化方法會得到不同的聚類結果。

四、Python實現

下面是使用sklearn庫實現高斯聚類的示例代碼：

from sklearn.mixture import GaussianMixture

gmm = GaussianMixture(n_components=3)
gmm.fit(X)

labels = gmm.predict(X)

其中，n_components是指定聚類個數的參數，X是數據矩陣，labels是輸出的聚類結果。