深入理解MATLAB fzero函數

一、fzero函數概述

fzero函數是MATLAB中常用的非線性方程求根函數，其功能是在一定的範圍內找出函數零點(也稱根)，即將一個函數f(x)從它所代表的函數圖像與X軸相交處求出它的根或根的估計值。fzero函數利用牛頓迭代或割線迭代求解方程的根。它的調用格式為：

[x,fval]=fzero(fun,x0);
[x,fval,exitflag]=fzero(___);
[x,fval,exitflag,output]=fzero(___);

其中fun是被求解的方程或函數，x0是方程的初始種子值。

二、fzero函數參數詳解

1. fun參數

fun參數可以是一個函數句柄，也可以是一個字元串表達式或一個匿名函數。例如：

% 使用函數句柄來表示方程
fun = @myfun;

% 使用字元串表達式來表示方程
fun = 'sin(x)';

% 使用匿名函數來表示方程
fun = @(x) x^3-2*x^2-x+2;

這裡需要注意的是，當使用字元串表達式或一個匿名函數作為方程的輸入時，MATLAB計算表達式或函數的值來確定一個根點，而不是導入方程的函數文件。

2. x0參數

x0參數表示初始的種子值。找到一個適當的種子值通常是問題的一個關鍵。將初始點設置在方程根附近會使演算法更快地收斂。例如：

% 將x0設置為方程根的近似值 
x0 = 1.5;

% 將x0設置為一個區間中的值
x0 = [1,2];

3. exitflag參數

exitflag參數返回fzero是否成功找到一個解的標誌。成功找到解時，exitflag的值為1。其他的取值如下：

• 0 — 程序正常結束，但是結果不可靠。
• -1 — 演算法未收斂，不能得到可靠的解。
• -2 — fzero函數收到信號而停止運行。

4. output參數

output參數是一個結構體，包含有有關fzero運行的信息，如迭代次數和函數等。

三、fzero函數實例演示

1. 求解簡單線性方程

計算線性方程 f(x) = 2x – 1 = 0 的根點。

% 定義線性方程
fun = @(x) 2 * x - 1;

% 指定種子值
x0 = 0;

% 求解方程
[x,fval,exitflag,output] = fzero(fun, x0);

% 輸出結果
fprintf('The root is: %f\n', x);

2. 利用fzero函數畫圖

繪製方程sin(x) = 0和cos(x) – x/2 = 0在區間[0, 5]內的函數圖像，並標出它們的根點。

% 繪製函數sin(x)在[0,5]的函數圖像
fun1 = @(x) sin(x);
fplot(fun1, [0, 5]);
hold on;

% 解sin(x) = 0的方程根
x0 = 3.2; 
[x1,fval,exitflag,output] = fzero(fun1, x0);

% 在函數圖像中標記方程根
plot(x1, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10);

% 繪製函數cos(x)-x/2的圖像 
fun2 = @(x) cos(x) - x/2;
fplot(fun2, [0, 5]);

% 解cos(x) - x/2 = 0的方程根
x0 = 1.2;
[x2,fval,exitflag,output] = fzero(fun2, x0);

% 在函數圖像中標記方程根
plot(x2, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10);

% 設置圖像選項
xlabel('X Axis');
ylabel('Y Axis');
title('Function Graph');
legend('sin(x) = 0', 'cos(x) - x/2 = 0', 'Root');

3. 複合方程求解

計算f(g(x)) = x^3 – 5x^2 + 6x – 2 = 0在[0, 5]中的根點。

% 為f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2尋找根點
f = @(x) x^3 - 5 * x^2 + 6 * x - 2;

% 為g(x) = 3cos(x/2) + 0.5尋找根點
g = @(x) 3 * cos(x/2) + 0.5;

% 組合複合方程
fun = @(x) f(g(x));

% 針對f(g(x))開始尋找根點，並指定開始點x0
x0 = 1.3;
[x,fval,exitflag,output] = fzero(fun,x0);

% 輸出結果
fprintf('The root is: %f\n', x);

四、fzero函數的注意事項

• 在使用fzero函數之前，應先對方程進行繪圖以確認可能的解。
• 始終指定x0參數。如果不指定x0參數，則fzero默認為x0=0。
• 如果解沒有被找到，則可能是因為x0參數不夠接近真實的解或方程沒有根。
• 避免在方程式中使用絕對值（如abs()函數），因它會使函數的曲線不連續，對fzero函數有不良影響。
• 在求解複合函數時，使用的g(x)必須保證在該區間內是單射函數，否則找到的根可能不是唯一的解。