Kruskal-Wallis檢驗及應用

一、基本概念

Kruskal-Wallis是一種用於非參數檢驗的統計方法，用於比較三個或三個以上獨立組的中位數是否相等。這種方法可以被視為方差分析（ANOVA）的非參數等級替代方法。

使用Kruskal-Wallis的優點是它可以處理偏斜的數據分布和具有等間距單位測量水平的數據，同時不需要滿足正態性和同方差性的要求。

在執行Kruskal-Wallis檢驗之前，必須要先進行一些假設：

1.獨立性假設：每個組之間是相互獨立的；

2.同分布假設：每個組的觀測值是從同一種分布中獲取的（雖然不需要是正態分布）；

3.同方差假設：每個組具有相同的方差。

二、檢驗步驟

以下是Kruskal-Wallis檢驗的基本步驟：

1.將所有觀測值從小到大排序，得到一個有序數據集；

2.為每個觀測值分配一個秩次（按其在有序數據集中出現的位置），若有相同的數值，則其秩位平均；

3.求出每個組的秩位和，用於計算檢驗統計量；

4.計算檢驗統計量，其公式為：

H = [(12 / (n(n+1))) * Σ(Rj - T/n)^2] - 3(n+1)

其中，n為總樣本量，Rj為第j個組的秩和，T為總秩和。

5.根據所選的顯著水平以及自由度，計算出臨界值；

6.比較檢驗統計量和臨界值，得出結論。

三、應用場景

以下是一些使用Kruskal-Wallis的常見場景：

1.醫療研究：對不同治療方法的有效性進行比較；

2.市場研究：對消費者在不同價格下的購買偏好進行比較；

3.工程研究：比較不同生產工藝的質量結果；

4.生態學研究：比較不同生態系統下物種多樣性的變化；

5.社會科學研究：比較不同社會群體的幸福感或生活滿意度。

四、實例演示

以下是一個使用Python進行Kruskal-Wallis檢驗的實例：

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 三個獨立組的數據
group1 = np.array([3, 4, 5, 6, 7])
group2 = np.array([8, 9, 10, 11, 12])
group3 = np.array([13, 14, 15, 16, 17])

# 進行Kruskal-Wallis檢驗
H, p = stats.kruskal(group1, group2, group3)

# 顯示檢驗結果
print("H 檢驗統計量 =", H)
print("p-值 =", p)
if p < 0.05:
    print("拒絕原假設")
else:
    print("未能拒絕原假設")

在這個例子中，我們使用了NumPy和SciPy庫來進行計算。運行這段代碼將得出Kruskal-Wallis檢驗的結果，包括檢驗統計量和p-值。如果p-值小於0.05，則拒絕原假設，即組之間的中位數不相等。