Python正態分布函數的詳解

一、概述

正態分布函數（也稱高斯分布函數）是指在數論與統計學中常見的概率分布函數。在實際生活中，很多現象都服從正態分布，如人類的智力、身高、財富等等。而在Python中，可以通過SciPy中的stats模塊來實現正態分布函數的計算。下面將從多個方面對Python正態分布函數進行詳細的闡述。

二、生成正態分布隨機數

要生成符合正態分布的隨機數，可以使用scipy.stats模塊中的norm()函數。norm()函數的默認分布為標準正態分布，即均值為0，方差為1的分布，若要自定義均值和方差，需要傳入mean 和 std 參數。

from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 生成10000個均值為2，方差為0.5的正態分布隨機數
mu, sigma = 2, 0.5
x = norm.rvs(loc=mu, scale=sigma, size=10000)

# 繪製生成的隨機數的概率分布圖
count, bins, ignored = plt.hist(x, 30, density=True)
plt.plot(bins, 1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *
               np.exp( - (bins - mu)**2 / (2 * sigma**2) ),
         linewidth=2, color='r')
plt.show()

三、計算正態分布的概率密度函數

通過norm.pdf()函數可以計算正態分布的概率密度函數值。norm.pdf()函數需要傳入待計算的隨機數和分布的均值與方差。

from scipy.stats import norm

# 計算隨機數3在均值為2，方差為0.5的正態分布下的概率密度函數值
mu, sigma = 2, 0.5
x = 3
p = norm.pdf(x, mu, sigma)
print(p)

四、計算正態分布的累計分布函數

累計分布函數（Cumulative Distribution Function, CDF），也稱分布函數，是概率論中的一種函數，對於任何實數t，它給出隨機變數X ≤ t的概率。在正態分布中，CDF可以用norm.cdf()函數來計算，該函數需要傳入隨機數和均值、方差參數。

from scipy.stats import norm

# 計算隨機數2在均值為2，方差為0.5的正態分布下的累計分布函數值
mu, sigma = 2, 0.5
x = 2
p = norm.cdf(x, mu, sigma)
print(p)

五、計算正態分布的逆函數

逆函數（Inverse function）是在數學中的一個概念，如果稱連續單調函數 y = f(x) 在定義域 X 上的反函數為 y = f^(-1)(x)，那麼有：f^(-1)( y ) = x，其中 x∈X，y∈f(X)。

在正態分布中，逆函數可以用norm.ppf()函數來計算，該函數需要傳入累計分布函數值和均值、方差參數，返回對應的隨機數。

from scipy.stats import norm

# 計算累計分布函數值為0.9的隨機數在均值為2，方差為0.5的正態分布中的值
mu, sigma = 2, 0.5
p = 0.9
x = norm.ppf(p, mu, sigma)
print(x)

六、擬合數據到正態分布

在實際的數據分析中，需要將一些數據擬合到正態分布中。可以通過scipy.stats模塊的norm.fit()函數來實現數據的擬合，該函數需要傳入待擬合的數據。

from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成1000個隨機數
mu, sigma = 0, 1
s = np.random.normal(mu, sigma, 1000)

# 擬合數據到正態分布
param = norm.fit(s)
x = np.linspace(-5, 5, 100)
pdf_fitted = norm.pdf(x, loc=param[0], scale=param[1])
plt.plot(x, pdf_fitted, 'r-', label='fitted')

# 繪製擬合後的概率分布直方圖
plt.hist(s, bins=50, density=True, alpha=0.5)
plt.legend(loc='best')
plt.show()

七、總結

正態分布函數是重要的統計函數之一，在數學和統計學領域都有廣泛的應用。在Python中，通過SciPy的stats模塊可以方便地實現正態分布函數的計算、擬合和繪製，提高了數據分析的效率和質量。