Python矩陣求逆詳解

一、前置知識

在講述矩陣求逆之前，我們需要先了解一下以下幾個概念：

1. 矩陣：

matrix = [[1, 2],[3, 4]]

2. 單位矩陣：

import numpy as np
I = np.eye(2)
print(I) #輸出 [[1., 0.], [0., 1.]]

3. 逆矩陣：

import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #輸出 [[-2. ,  1. ], [ 1.5, -0.5]]

二、求逆方法

得到了上述的前置知識，我們就可以開始講解Python如何求逆矩陣。

Python中求逆矩陣的方法是使用numpy.linalg.inv()函數。它的參數是輸入的矩陣，返回值是該矩陣的逆矩陣。

import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #輸出 [[-2. ,  1. ], [ 1.5, -0.5]]

上述代碼中，我們使用了numpy庫中的linalg.inv()函數求出矩陣的逆，並將結果輸出。

需要注意的是：當矩陣不可逆時，linalg.inv()函數會拋出異常，並提示矩陣不可逆。

三、求逆應用場景

矩陣求逆的應用場景非常廣泛，下面列舉了一些常見的應用場景。

1. 線性方程組求解

如果我們有一個線性方程組：

2x+3y = 7
4x+5y = 11

可以用矩陣表示為：

#係數矩陣
A = [[2, 3], [4, 5]]
#常數矩陣
B = [[7], [11]]

那麼這個方程組的解就可以用逆矩陣來求解：

X = A^(-1)B

其中，X表示未知數的值，A^(-1)表示矩陣A的逆矩陣，B為常數矩陣。

import numpy as np
A = [[2, 3], [4, 5]]
B = [[7], [11]]
X = np.dot(np.linalg.inv(A),B)
print(X)

上述代碼中，我們使用numpy中的dot()函數計算了乘積A^(-1)B，得到了方程組的解。

2. 描述二階變換的矩陣求逆

在圖像處理中，矩陣求逆可以描述一類二階的變換。

我們可以用代碼來演示一下旋轉90度這個二階變換的矩陣求逆：

import numpy as np
#原始圖像
image = [[1, 2, 3],
         [4, 5, 6],
         [7, 8, 9]]
#變換後的圖像
new_image = [[7, 4, 1],
             [8, 5, 2],
             [9, 6, 3]]
#旋轉矩陣
rotate_matrix = [[0, -1, 0],
                 [1,  0, 0],
                 [0,  0, 1]]
#旋轉矩陣的逆矩陣
inv_rotate_matrix = np.linalg.inv(rotate_matrix)
#逆變換後的圖像
inv_new_image = np.dot(inv_rotate_matrix, image)
print(inv_new_image)

上述代碼中，我們先定義了一個原始圖像和變換後的圖像，然後定義了旋轉矩陣和其逆矩陣。最後用逆矩陣對變換後的圖像進行逆變換，得到了原始圖像。

3. 數據降維

在機器學習和數據分析中，矩陣求逆也經常用於數據降維。具體來說，就是通過對原始數據矩陣求逆，得到一個降維後的數據矩陣。

下面的代碼演示了如何使用矩陣求逆對二維特徵進行降維：

import numpy as np
#原始數據矩陣
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
#求協方差矩陣
cov_matrix = np.cov(X.T)
print(cov_matrix)
#求逆協方差矩陣
inv_cov_matrix = np.linalg.inv(cov_matrix)
print(inv_cov_matrix)
#降維後的數據矩陣
reduced_data = np.dot(X, inv_cov_matrix)
print(reduced_data)

上述代碼中，我們先定義了一個二維的原始數據矩陣，然後通過求協方差矩陣來進行特徵降維。具體而言，我們使用numpy庫中的cov()函數來計算原始數據矩陣的協方差矩陣，然後對協方差矩陣求逆，得到逆協方差矩陣。最後，我們用逆協方差矩陣與原始數據矩陣相乘，得到了降維後的數據矩陣。