Matlab中ode45詳解

一、sj

ODE45是Matlab的一個重要工具，主要用於解常微分方程組(ODE)問題，它在Matlab中的使用非常廣泛。ODE45是一種比較穩定和高精度的求解ODE一般初值問題的演算法，其使用了雙步的公式，即一個4階方法和一個5階方法並結合兩種方法來估計誤差。ODE45一般要求問題是初值問題，所以在使用前需要提供問題初始參數。需要注意的是，在使用ODE45的時候，用戶需要提供一個ODE函數作為輸入參數。

以下是使用ODE45解決ode問題的通用形式：

[T, Y] = ode45(odefun, tspan, y0, options);

其中，T是時間向量，Y是對應的解向量，tspan是一個二元組[t0, tf]，表示時間區間[t0, tf]，y0是初始值條件向量。odefun是一個函數句柄，可以對應ODE系統的右手邊部分，也就是dy/dt=f(t,y)。對於多個ODE的情況，y和dy/dt都是向量。

二、matlab中.

在Matlab中，可以使用元素運算符”.”實現向量的逐元素運算。下面是一個例子，我們可以通過函數odefun來設置ODEx關於時間和狀態x的微分方程：

function dxdt = odefun(t,x)
% parameter values
r = 0.25;
k = 1.5;
% differential equations
dxdt = [r*x(1)*(1-x(1)/k); r*x(2)*(1-x(2)/k)];
end

可以看到，ODE函數中有兩個自變數t和x。x是狀態向量。

三、matlab中gui

Matlab GUI是一種配備了圖形用戶界面的Matlab程序。它可以方便地〔可視化〕一些Matlab工作，比如實驗數據的可視化處理。雖說建立Matlab GUI很容易，但是用Matlab GUI打出一款實用且快速響應的軟體還是需要一定技巧和經驗的。下面的示例演示了如何使用GUI交互。

function simple_gui

%create a figure:-Create and then hide the GUI
% because the GUI will pop up if we do not keep it hidden
%f is the handle to the figure
f = figure('Visible','off','Position',[360,500,450,285]);

%Define a string:
XData = 0:1:10;
YData = sin(XData);

%Create a plot in the GUI:
hplot = plot(XData,YData);

%Create just some basic uicontrols
hsurf  = uicontrol('Style','pushbutton','String','Surf','Position',[315,220,70,25],...
           'Callback',@surfbutton_Callback);

%callbacks for surf pushbutton
function surfbutton_Callback(~,~)
%display surf plot once button is pressed:
%if no plot exists, create one
%otherwise, clear just the current figure
mesh(peaks);

end

%Initializing the GUI
%move the GUI to the center of the screen
movegui(f,'center')
%make the GUI visible
set(f,'Visible','on')
end

四、matlab中thr

ODE45的默認誤差容限為1e-3，這樣的精度在大多數情況下並不會帶來問題。但是，在某些情況下，我們需要達到更高的精度。我們可以通過Matlab的選項參數進行控制。下面是一個例子，`RelTol`和`AbsTol`選項參數分別對應ODE45求解器的相對誤差和絕對誤差。需要注意的是，RelTol和AbsTol可以是向量。

Tspan = [0 10];
options = odeset('RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-10);
[t,y] = ode45(@odefun,Tspan,y0,options);

五、matlab中k

在ODE問題中，我們有時候需要調用其它的Matlab函數。例如，在一個ODE求解問題中，用戶可能需要使用Matlab中的一些內置函數，比如sin()，cos()，sqrt()等等。此外，用戶還可以在其自己定義的ODEx函數中使用任意的Matlab函數，並且可以利用Matlab的向量化功能向量化這些函數。

下面的代碼演示了如何使用Matlab函數來設置ODE函數：

function dxdt = odefun(t,x)
% parameter values
a = 0.1;
b = 0.2;
c = 0.25;
d = 0.1;

% differential equations
dxdt = [-a*x(1) + a*x(2); b*x(1) - c*x(1)*x(3); d*x(3) - c*x(1)*x(3)];
end

六、matlab中triu

類似於fzero，fsolve和ode45求解器都是由一個非線性函數的根開始計算的（即，這個函數的值應該為零）。例如，在fsolve求解器中，用戶需要提供一個方程的向量形式，其中每個元素都應該為0。

以下是一個使用fsolve求解器求解方程的例子。在這個例子中，我們通過求解和等式sin(x) = x – 1.4，來求解函數的零點。然後，我們將這個根傳遞給ode45求解器，用於求解ODX的別的部分。

%define the function f
f = @(x) sin(x) - x + 1.4;

%find the root r of f
r = fsolve(f,1);

%define the new ode function
function dxdt = odefun(t,x)
r = 1.1142;
dxdt = [-r*x(1) + r*x(2); r*x(1) - r*x(2)];
end

%call ode45 to solve the new ode function
[T, Y] = ode45(@odefun,[0 10],[1 0]);

七、matlab中sum

Matlab可以使用`sum()`函數來計算向量或者矩陣的和。這是Matlab中非常基礎的操作。下面是一個簡單的例子，演示如何使用`sum()`函數計算向量的和：

x = [1, 2, 3, 4];
total = sum(x);

八、matlab中rank

Matlab中的`rank()`函數用於計算矩陣的秩。秩是一個矩陣的列向量的線性獨立組的最大數量。下面是一個使用`rank()`函數的例子：

%define a matrix
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

%compute the rank of matrix A
r = rank(A);

九、matlab中collect

`collect()`函數可以將一個表達式中的各項按照一個或者多個符號進行收集。這個函數用於簡化表達式，使表達式看起來更加合理。下面是一個收集函數的例子：

%define the expression
syms x y
expr = x^2 + 4*x + y^2 + 6*y;

%collect the expression
new_expr = collect(expr, [x, y]);

十、matlab中input

Inpout是Matlab自帶的一個基本輸入函數，可以使用該函數從鍵盤上獲取用戶輸入的信息。下面是使用input函數的示例：

%prompt the user to input their name
name = input("What is your name? ");

可以看到，在這個例子中，我們通過對用戶輸入信息的解析，從命令行獲取了用戶的姓名，並將其存儲在名為name的變數中。