深入探討Rbtree紅黑樹

一、rbtree概述

rbtree又稱紅黑樹，是一種自平衡二叉查找樹，它首先在樹上進行二叉查找，然後通過顏色標記節點，保證了在插入和刪除節點時，樹的高度始終是對數級別的。因此，rbtree在搜索、插入、刪除操作上都能保證較快的時間複雜度，通常是O(log(n))，非常適用於查找、排序、統計等領域的應用。

二、rbtree的特點

1. 節點顏色標記

typedef enum node_color {
    RED,
    BLACK
} node_color_t;

節點有兩種顏色：紅色和黑色，紅色節點表示「不穩定」節點，因為插入和刪除操作可能會讓它違反自平衡特性；黑色節點則表示穩定節點，它們滿足自平衡特性，保證了樹的高度平衡。

2. 自平衡特性

在插入和刪除節點時，為了保證樹的自平衡，需要根據節點顏色和位置關係進行相關操作，主要有以下規則：

• 根節點必須是黑色的
• 所有葉子節點（NIL）都是黑色的
• 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色的
• 從任一節點到其每個葉子節點的所有路徑都包含相同數量的黑色節點

3. 用途廣泛

由於rbtree具有高效的自平衡特性，因此在各種領域都有廣泛的應用，如STL中的map和set就採用了rbtree作為底層結構。此外，在操作系統、資料庫、網路設備、編譯器等眾多領域都有應用。

三、rbtree的基本操作

1. 插入操作

rbtree的插入操作分為兩步：

1. 進行標準的二叉查找樹插入操作
2. 修正最後插入節點的顏色和位置關係，使其滿足自平衡特性

void rbtree_insert(rbtree_t *tree, rbtree_node_t *node) {
    /* standard binary search tree insertion */
    rbtree_node_t *parent = NULL;
    rbtree_node_t *pos = tree->root;
    while (pos != NULL) {
        parent = pos;
        if (tree->compare_fun(node->data, pos->data) left;
        } else {
            pos = pos->right;
        } 
    }
    node->parent = parent;
    if (parent == NULL) {
        tree->root = node;
    } else if (tree->compare_fun(node->data, parent->data) left = node;
    } else {
        parent->right = node;
    }
    /* fix-up the tree */
    rbtree_insert_fixup(tree, node);
}

2. 刪除操作

rbtree的刪除操作也分為兩步：

1. 進行標準的二叉查找樹刪除操作
2. 修正刪除節點的顏色和位置關係，使其滿足自平衡特性

void rbtree_delete(rbtree_t *tree, rbtree_node_t *node) {
    /* standard binary search tree deletion */
    rbtree_node_t *child = NULL;
    rbtree_node_t *substitute = NULL;
    if (node->left == NULL || node->right == NULL) {
        substitute = node;
    } else {
        substitute = rbtree_successor(node);
    }
    if (substitute->left != NULL) {
        child = substitute->left;
    } else {
        child = substitute->right;
    }
    if (child != NULL) {
        child->parent = substitute->parent;
    }
    if (substitute->parent == NULL) {
        tree->root = child;
    } else if (substitute == substitute->parent->left) {
        substitute->parent->left = child;
    } else {
        substitute->parent->right = child;
    }
    if (substitute != node) {
        node->data = substitute->data;
    }
    /* fix-up the tree */
    if (substitute->color == BLACK) {
        rbtree_delete_fixup(tree, child, substitute->parent);
    }
    free(substitute);
}

3. 尋找操作

尋找操作就是標準的二叉查找樹查找操作，時間複雜度為O(log(n))。

rbtree_node_t* rbtree_search(rbtree_t *tree, data_t data) {
    rbtree_node_t *pos = tree->root;
    while (pos != NULL) {
        if (tree->compare_fun(data, pos->data) left;
        } else if (tree->compare_fun(data, pos->data) > 0) {
            pos = pos->right;
        } else {
            return pos;
        }
    }
    return NULL;
}

四、總結

rbtree是一種自平衡二叉查找樹，它通過標記節點顏色和維護四個自平衡特性，保證了樹的高度始終是對數級別的。因此，rbtree在插入、刪除、查找等操作上都能保證較快的時間複雜度，通常是O(log(n))，非常適用於查找、排序、統計等領域的應用。在實際的應用中，rbtree也極為重要，例如，在內核中的進程管理、緩存管理、網路協議等眾多領域都有rbtree的應用。因此，學習和掌握rbtree對於理解和掌握Linux內核、編譯器等程序底層原理都有重要的意義。