深入淺出logistic混沌映射

混沌映射是非線性動力學中經常出現的一個重要概念，它是一種簡單的模型，可以產生看起來隨機的複雜性。常見的混沌映射有 Logistic 映射、Henon 映射、Ikeda 映射等等。本文將深入淺出地介紹 Logistic 混沌映射及它的一些應用。我們首先從 Logistic 函數的定義開始。

一、Logistic 函數

Logistic 函數的定義如下：

def logistic(r, x):
    return r*x*(1-x)

其中，r 為參數，用於控制複雜度，常常取值在 3.6 到 4.0 之間。x 為輸入，取值範圍為 [0,1]。該函數將一個輸入值映射為 [0,1] 之間的新值。

下面是一個 Logistic 函數輸出-輸入的圖像，它展示了 Logistic 函數的性質：

import matplotlib.pyplot as plt 

def show_logistic():
    r = 3.8
    x = [0.5]
    for i in range(200):
        x.append(logistic(r, x[-1]))
    fig, ax = plt.subplots()
    ax.plot(x, 'b-', label='logistic map') 
    ax.plot([0, 200], [0.5, 0.5], 'r--', label='y=0.5')
    ax.legend()
    ax.set_xlabel('time')
    ax.set_ylabel('Xt')
    plt.show()

show_logistic()

二、Logistic 映射及混沌性質

Logistic 函數可以進一步用來定義 Logistic 映射，即：使用一個初始值，通過反覆使用 Logistic 函數，得到一個序列，稱之為 Logistic 映射序列。

def logistic_map(r, x0, n):
    result = []
    xt = x0
    for i in range(n):
        result.append(xt)
        xt = logistic(r, xt)
    return result

下面是 Logistic 映射在不同參數下的輸出結果：

def show_logistic_map():
    fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=3, figsize=(10, 6))
    x0 = 0.2
    n = 1000
    r_values = [2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 3.8, 4.0]
    for r, ax in zip(r_values, axes.flatten()):
        ax.plot(logistic_map(r, x0, n), 'b.', markersize=1)
        ax.set_title(f"r = {r}")
    plt.tight_layout()
    plt.show()

show_logistic_map()

可以看到，當 r 取不同的值時，序列會展現出不同的路徑，部分路徑會變得非常複雜。

Logistic 映射的混沌性質，體現在它的輸出序列的初值敏感性上。即，微小的初始變化，可能會導致序列朝著完全不同的方向發展。例如，下面是兩個 Logistic 映射序列在初始值上僅相差 0.0001 的情況下的對比：

r = 3.9 
x0_1 = 0.6
x0_2 = 0.6001

plt.plot(logistic_map(r, x0_1, 500), 'b-', label=f'x0 = {x0_1}')
plt.plot(logistic_map(r, x0_2, 500), 'r-', label=f'x0 = {x0_2}')
plt.legend()
plt.show()

這說明 Logistic 映射序列對於初始值的依賴性越來越大，進而畫出的圖像變得亂糟糟的。

三、應用

1. 圖像加密

Logistic 映射可以廣泛應用於圖像加密。基本思路是，將圖像像素的灰度值作為輸入初始值，產生 Logistic 映射序列，然後將序列的值乘以 255 得到一組新的灰度值，至此完成加密。解密時，將新的灰度值輸入到 Logistic 映射中，得到的序列再次乘以 255 就可以得到原始的灰度值。

def logistic_encryption(image, r, x0):
    rows, cols = image.shape
    data_len = rows*cols
    logistic_seq = np.array(logistic_map(r, x0, data_len))
    encryption_data = (logistic_seq * 255).reshape(rows, cols)
    encrypted_image = image ^ encryption_data.astype(np.uint8)
    return encrypted_image

def logistic_decryption(encrypted_image, r, x0):
    rows, cols = encrypted_image.shape
    data_len = rows*cols
    logistic_seq = np.array(logistic_map(r, x0, data_len))
    encryption_data = (logistic_seq * 255).reshape(rows, cols)
    decrypted_image = encrypted_image ^ encryption_data.astype(np.uint8)
    return decrypted_image

2. 人工神經元

Logistic 映射可以用於神經元，它的特點是可以在 0 和 1 之間緩慢地變化，並以某個 r 值為中心，單調減小或增加。

神經元的核心公式就是 Logistic 映射：

def logistic_neuron(w, x, theta):
    return logistic(np.dot(w, x)-theta, 1)

w = np.array([1, -2])
x = np.array([1, 0.5])
theta = 0

logistic_neuron(w, x, theta)

其中，w 和 x 是權重和輸入的向量，theta 是閾值。實現代碼參考下面的 Github 倉庫：

https://github.com/morvanzhou/neural-networks-and-deep-learning/blob/master/contents/section2/demo/script.py

四、結束語

總結一下，我們在本文中深入闡述了 Logistic 混沌映射的本質、計算方式、應用場合等。Logistic 混沌映射為我們研究非線性動力學問題提供了簡單粗暴的方法，例如模擬天氣預報、地震預警等。\n我們在本文中提供了多個 Code 示例，可以直接運行並修改。