探討空間向量夾角

一、定義與計算

空間向量夾角，是指兩個向量之間的角度。在三維空間中，一個向量可以用三個分量表示（三元組），兩個向量分別為a（a1, a2, a3）和b（b1, b2, b3），則它們的夾角公式如下：

double cos_theta = (a1*b1+a2*b2+a3*b3)/(sqrt(a1*a1+a2*a2+a3*a3)*sqrt(b1*b1+b2*b2+b3*b3));
double theta = acos(cos_theta);

其中，acos是反餘弦函數，返回的角度範圍在0到π之間。

為了避免精度問題，代碼中應當注意將除數平方根化簡後再進行計算，例如：

double norm_a = sqrt(a1*a1+a2*a2+a3*a3);
double norm_b = sqrt(b1*b1+b2*b2+b3*b3);
double cos_theta = (a1*b1+a2*b2+a3*b3)/(norm_a*norm_b);
double theta = acos(cos_theta);

二、向量投影

在計算夾角之前，需要求出兩個向量在同一方向上的投影。為此，我們可以先將兩個向量單位化，然後相乘即可得到其投影。

代碼示例：

double norm_a = sqrt(a1*a1+a2*a2+a3*a3);
double norm_b = sqrt(b1*b1+b2*b2+b3*b3);
double a_unit[3] = {a1/norm_a, a2/norm_a, a3/norm_a};
double b_unit[3] = {b1/norm_b, b2/norm_b, b3/norm_b};
double projection = a_unit[0]*b_unit[0] + a_unit[1]*b_unit[1] + a_unit[2]*b_unit[2];

三、向量叉積

向量夾角的定義還可以通過向量叉積得到。向量叉積是一個運算符，其結果為一個向量，其大小等於兩個向量所圍成的平行四邊形的面積，方向垂直於這個平行四邊形。

兩個向量a和b的叉積寫作a×b，其公式如下：

c1 = a2*b3 - a3*b2;
c2 = a3*b1 - a1*b3;
c3 = a1*b2 - a2*b1;

代碼示例：

double c1 = a2*b3 - a3*b2;
double c2 = a3*b1 - a1*b3;
double c3 = a1*b2 - a2*b1;

四、應用舉例

空間向量夾角的應用非常廣泛，例如，可以用於計算兩個物體運動方向之間的夾角，以及三維建模中表面法向量之間的夾角，也可以用於機器人定位中計算機器人與目標物體之間的夾角。

代碼示例：計算點到平面的距離

double point[3] = {1, 2, 3};
double plane[4] = {1, 2, 3, 4};
// 點到平面的距離公式為：|ax+by+cz+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)
double distance = abs(plane[0]*point[0]+plane[1]*point[1]+plane[2]*point[2]+plane[3])/sqrt(plane[0]*plane[0]+plane[1]*plane[1]+plane[2]*plane[2]);