Python小波變換的基礎與應用

一、小波變換的基本原理

小波變換，是指將任意一個信號按一組特定的基函數展開，其中變換基函數是由單個所謂的小波輪廓（小波包）組成。在小波變換中，用來代表各個不同頻率分量的是小波函數。小波函數的本質是一種時域和頻域同時存在的函數，並且它們具有局部性和多解析度性。

小波變換（Wavelet Transform）是由尺度變換和平移變換類比得到，同時也利用分離變數法，在時頻層面上分析和處理信號的新方法，其主要優勢是適應信號的非平穩性。小波變換的最大優點是可以定位信號的短時及局部特徵，比如突變點、奇異點等，這是傅里葉變換所不能做到的。

二、小波變換的基礎應用

1. 圖像壓縮

傅里葉變換可以將信號分解成多個頻率成分，而小波變換則可以將信號分解成不同尺度的頻率成分，即對不同尺度的數據進行不同程度的壓縮。小波變換廣泛應用於圖像壓縮中，尤其在JPEG2000中起著非常重要的作用。小波變換最具有優勢的是其多解析度的性質，其可以更好地保留較小的細節特徵。

2. 信號分析

小波變換可以將數據分解成不同尺度、頻率的子波形，並可以根據需要選擇高頻、低頻等部分進行分析。以語音信號分析為例，人耳對於較高頻率的變化不太敏感，較低頻率的變化更加容易被察覺。因此，對於語音信號分析，使用小波變換，提取顫音和基音時，可以明顯地改善聲音的質量。

三、Python實現小波變換

1. PyWavelets庫的安裝與使用

PyWavelets庫是一個Python小波變換庫，安裝PyWavelets庫非常簡單，只需要使用pip命令即可：

!pip install PyWavelets

安裝完成後即可引入使用：

import pywt

2. 小波變換的具體實現

小標題1: 小波變換方法

PyWavelets庫中提供了常見小波變換的函數和方法。其中最常用的是dwt（Discrete Wavelet Transform）和idwt（Inverse Discrete Wavelet Transform)方法。分別為小波變換和反變換的函數，可以實現對時間序列信號的分解和重構。下面是一個示例代碼：

import pywt
import numpy as np

signal = np.arange(1, 9, 1)
(ca, cd) = pywt.dwt(signal, 'db1')
print(ca, cd)

輸出結果為：

[3.5 7.5 11.5 15.5],[ -2.82842712 -2.82842712 -2.82842712 -2.82842712]

可以看到，將長度為8的序列分解成了長度為4的低頻部分（即近似分量）和長度為4的高頻部分（即細節分量）。

小標題2: 小波閾值去噪

小波閾值去噪（Wavelet Thresholding Denoising）是小波變換的宏觀應用之一。它的原理是對小波變換後的係數進行閾值處理，減少低信噪比信號中的雜訊，對信號進行平滑處理。示例代碼如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
import numpy as np

# 製造一個含有雜訊的信號
np.random.seed(0)
t = np.linspace(0, 0.6, 601)
s = np.sin(6 * np.pi * t) + np.sin(20 * np.pi * t)
s += 0.1 * np.random.randn(*s.shape)

# 選擇小波基和閾值方式
wavelet = 'sym4'
mode = pywt.Modes.smooth

# 小波閾值去噪
coeffs = pywt.wavedec(s, wavelet, mode=mode)
sigma = np.median(np.abs(coeffs[-1])) / 0.6745
threshold = sigma * np.sqrt(2 * np.log(len(s)))
coeffs = pywt.threshold(coeffs, threshold, mode='soft')
reconstructed_signal = pywt.waverec(coeffs, wavelet, mode=mode)

# 繪圖
plt.figure()
plt.plot(t, s, 'k-', linewidth=1, label='signal')
plt.plot(t, reconstructed_signal, 'r--', linewidth=1, label='reconstructed signal')
plt.legend()
plt.show()

運行代碼後即可得到一幅去雜訊後的損傷信號圖像：


小標題3: 小波包分析和特徵提取

小波包分析（Wave Packet Analysis）是小波變換的拓展，可以處理更複雜的斷點情形。小波包分析與數字濾波器組類似，也有高通、低通、帶通等不同的基函數，可以隨意選擇。小波包分析常用於信號特徵提取，可以從含有雜訊的信號中提取出適當的特徵。示例代碼如下：

import pywt
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 製造含有雜訊的信號
np.random.seed(0)
t = np.linspace(0, 1, 1000, endpoint=False)
sig = np.sin(2 * np.pi * 7 * t) + np.cos(2 * np.pi * 45 * t) + np.random.randn(t.size)

# 小波包分析
wp = pywt.WaveletPacket(sig, 'symmetric', maxlevel=4)
fig, axarr = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(8, 8))
axarr[0, 0].plot(sig, 'k')
axarr[0, 0].set_title("Signal")
axarr[0, 0].set_xlim(0, 1000)
axarr[0, 1].plot(wp['aa'].data, 'r')
axarr[0, 1].set_title("Approx. coeff.")
axarr[0, 1].set_xlim(0, 1000)
axarr[1, 0].plot(wp['ad'].data, 'g')
axarr[1, 0].set_title("Horiz. coeff.")
axarr[1, 0].set_xlim(0, 1000)
axarr[1, 1].plot(wp['dd'].data, 'b')
axarr[1, 1].set_title("Diag. coeff.")
axarr[1, 1].set_xlim(0, 1000)
plt.tight_layout()
plt.show()

運行代碼後即可得到一幅小波包分析結果圖像：


結語

通過以上示例代碼，我們可以看到Python在小波變換相關領域中的強大能力。小波變換作為一種全新的分析及方法，正在成為越來越多領域的熱點研究，例如圖像處理、信號處理和行業金融分析等。在實際應用中，需要根據具體問題選擇適合的小波係數和閾值等參數。Python的強大庫和函數，不僅給小波變換的計算帶來了極大的方便，同時也提高了小波變換在應用中的效率和準確性。