深入探討GMM演算法

一、什麼是GMM演算法

GMM(Gaussian Mixture Model)是一種基於概率密度函數的聚類方法。GMM演算法把數據看作若干個高斯分布隨機變數的組合，因此，它也被稱為混合高斯模型。在GMM模型中，每一個數據點都可以被多個高斯分布所解釋，每一個高斯分布代表簇中的一個部分。通過計算每個高斯分布對於數據點的貢獻度，可以確定該數據點所屬的聚類簇。

二、GMM演算法的原理

GMM演算法把數據看成由若干個高斯分布組成的混合分布，並通過最大似然估計來求解模型參數。模型參數包括每個高斯分布的均值、協方差矩陣和權重。具體來說，GMM演算法的原理包括以下幾個步驟：

1、初始化模型參數：包括高斯分布的均值、協方差矩陣和權重。一般地，初始化時選取K個隨機數，分別作為K個高斯分布的均值，對於協方差矩陣採用單位矩陣進行初始化，而每個高斯分布的權重使用平均值進行初始化。

import numpy as np
from sklearn.mixture import GaussianMixture

X = np.array([...])
gm_model = GaussianMixture(n_components=K, covariance_type='full', random_state=0)
gm_model.fit(X)
print(gm_model.means_)  # K個高斯分布的均值
print(gm_model.covariances_)  # K個高斯分布的協方差矩陣
print(gm_model.weights_)  # K個高斯分布的權重

2、E步驟：計算數據點被每個高斯分布所解釋的概率。具體來講就是計算每個數據點分別屬於這K個高斯分布的概率分布，並且使用權重對其進行加權求和。

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

def calc_prob(X, mu, sigma, alpha):
    prob = []
    for i in range(K):
        norm = multivariate_normal(mean=mu[i], cov=sigma[i])
        prob.append(norm.pdf(X) * alpha[i])        
    return prob

X = np.array([...])
mu = np.array([...])  # K個高斯分布的均值
sigma = np.array([...])  # K個高斯分布的協方差矩陣
alpha = np.array([...])  # K個高斯分布的權重
prob = calc_prob(X, mu, sigma, alpha)

3、M步驟：更新高斯分布的均值、協方差矩陣和權重，使得對於每個數據點，被加權後的高斯分布概率值最大。具體的更新方式如下：

對於每個高斯分布，更新均值與協方差矩陣

import numpy as np

def update_mu_sigma(X, prob):
    mu = []
    sigma = []
    for i in range(K):
        mu_i = np.sum(prob[:, i].reshape(-1, 1) * X, axis=0) / np.sum(prob[:, i])
        mu.append(mu_i)
        sigma_i = np.zeros((n_features, n_features))
        for j in range(n_samples):
            sigma_i += prob[j][i] * np.dot((X[j] - mu_i).reshape(-1, 1), (X[j] - mu_i).reshape(1,-1))
        sigma_i /= np.sum(prob[:, i])
        sigma.append(sigma_i)
    return np.array(mu), np.array(sigma)

X = np.array([...])
prob = np.array([...])
n_samples, n_features = X.shape
mu_new, sigma_new = update_mu_sigma(X, prob)

對於每個高斯分布，更新權重

import numpy as np

def update_alpha(prob):
    alpha = np.sum(prob, axis=0) / prob.shape[0]
    return alpha

prob = np.array([...])
alpha_new = update_alpha(prob)

4、重複進行E步驟和M步驟，直至收斂。

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

def calc_prob(X, mu, sigma, alpha):
    prob = []
    for i in range(K):
        norm = multivariate_normal(mean=mu[i], cov=sigma[i])
        prob.append(norm.pdf(X) * alpha[i])        
    return prob

def update_mu_sigma(X, prob):
    mu = []
    sigma = []
    for i in range(K):
        mu_i = np.sum(prob[:, i].reshape(-1, 1) * X, axis=0) / np.sum(prob[:, i])
        mu.append(mu_i)
        sigma_i = np.zeros((n_features, n_features))
        for j in range(n_samples):
            sigma_i += prob[j][i] * np.dot((X[j] - mu_i).reshape(-1, 1), (X[j] - mu_i).reshape(1,-1))
        sigma_i /= np.sum(prob[:, i])
        sigma.append(sigma_i)
    return np.array(mu), np.array(sigma)

def update_alpha(prob):
    alpha = np.sum(prob, axis=0) / prob.shape[0]
    return alpha

X = np.array([...])
n_samples, n_features = X.shape

mu = [...]  # K個高斯分布的均值
sigma = [...]  # K個高斯分布的協方差矩陣
alpha = [...]  # K個高斯分布的權重

tolerance = 1e-3  # 迭代收斂的閾值
max_iteration = 100 # 最大迭代次數
for i in range(max_iteration):
    prob = calc_prob(X, mu, sigma, alpha)
    mu_new, sigma_new = update_mu_sigma(X, prob)
    alpha_new = update_alpha(prob)

    # 計算收斂程度
    diff_mu = np.abs(np.linalg.norm(mu_new) - np.linalg.norm(mu))
    diff_sigma = np.abs(np.linalg.norm(sigma_new) - np.linalg.norm(sigma))
    diff_alpha = np.abs(np.linalg.norm(alpha_new) - np.linalg.norm(alpha))

    mu, sigma, alpha = mu_new, sigma_new, alpha_new

    if diff_mu < tolerance and diff_sigma < tolerance and diff_alpha < tolerance:
        break

三、GMM演算法的應用

GMM演算法在數據聚類、圖像分割、異常檢測等領域都有廣泛的應用。其中，最常用的就是數據聚類。通過對數據進行聚類，我們可以發現不同的數據所對應的高斯分布，從而識別不同的數據類別。下面是一個使用GMM演算法進行數據聚類的例子。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs

from sklearn.mixture import GaussianMixture

n_samples = 300
centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]
X, y_true = make_blobs(n_samples=n_samples, centers=centers, cluster_std=0.5)

gm_model = GaussianMixture(n_components=3, covariance_type='full', random_state=0)
gm_model.fit(X)
labels = gm_model.predict(X)

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=labels, s=40, cmap='viridis')
plt.show()

四、GMM演算法的優缺點

GMM演算法最大的優點是對數據的偏移和形狀沒有過多的要求，對於非線性、複雜的數據可以產生很好的聚類效果。而缺點則是演算法的複雜度較高，計算量大，需要進行多次迭代，計算效率較低。同時，GMM演算法還需要對初始值進行敏感的設置，對於不同的數據集，需要進行不同的參數調整。