多維正態分布

一、什麼是多維正態分布？

多維正態分布是一種概率分布，是由多個正態分布組合而成的。它能夠描述多維度隨機變數之間的線性關係，例如多維數據的相關性和協方差矩陣。

多維正態分布具有如下的特點：

• 每個維度都有其自己的均值和方差
• 所有維度之間都有一個協方差矩陣，可以描述各維度之間的相互關係
• 分布形狀類似一個橢球，隨著維度數的增加，橢球也會隨之變形（比如變得更加扁或者更加細長等）

多維正態分布的概率密度函數如下：

$$ f(\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp \left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\vec{x}-\boldsymbol{\mu})\right) $$

其中，k代表數據的維度數，|Σ|代表協方差矩陣的行列式，Σ⁻¹代表協方差矩陣的逆矩陣，μ代表數據的均值向量，x代表一個樣本點。

下面是多維正態分布的一些約束條件：

協方差矩陣Σ必須是一個對稱正定矩陣，同時行列式必須大於0；所有維度的均值μ和協方差矩陣Σ決定了整個分布的形態。

二、多維正態分布的應用場景

多維正態分布廣泛應用於多維度數據建模和處理中，例如：

• 金融：風險管理、投資組合優化、期權評估等
• 物理學：高能物理實驗數據分析
• 醫學：MRI掃描圖像處理、生物特徵識別
• 機器學習：高斯混合模型、PCA降維、高斯過程回歸等

三、Python示例代碼

下面是使用Python進行多維正態分布建模的示例代碼：

# 導入必要的庫
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

# 定義模型參數
mu = np.array([0, 2]) # 均值向量
sigma = np.array([[1, 0.5], [0.5, 1]]) # 協方差矩陣

# 創建多維正態分布模型
model = multivariate_normal(mean=mu, cov=sigma)

# 樣本點
x = np.array([1, 3])

# 計算樣本點的概率密度
p = model.pdf(x)

# 輸出結果
print(p)

以上代碼輸出樣本點(x=[1, 3])的概率密度。

四、小結

多維正態分布是一種重要的概率分布，能夠描述多維數據之間的相互關係。它在金融、醫學、物理學和機器學習等領域都有廣泛的應用。在Python中，使用scipy.stats庫中的multivariate_normal函數能夠輕鬆地建立多維正態分布模型。