Metropolis準則解析

一、什麼是Metropolis準則

Metropolis準則是一種用於指導Monte Carlo模擬演算法設計的原則，在1949年被Nicholas Metropolis等人提出。其主要目的是提高Monte Carlo模擬的計算效率和精度，解決模擬中樣本抽樣率低和自相關性高的問題。基於Metropolis準則的Monte Carlo模擬也叫做Metropolis-Hastings演算法。

二、Metropolis準則的原理

Metropolis準則的原理是以一種「拒絕-接受」的方法來決定Monte Carlo模擬中當前抽樣的狀態是否需要保留。具體來說，對於每個狀態，Metropolis準則計算一個接受率，根據該接受率來判斷是否接受當前狀態。這個接受率的計算公式為：

        p=min{1,R},

其中R為抽樣狀態比上一狀態的概率比值，即抽樣狀態和上一狀態的比值：

        R = p(狀態)/p(上一狀態)

顯然，如果新的狀態更優，則R>1，接受新狀態的概率較大；如果新的狀態不如原來的狀態，則R<1，接受新狀態的概率較低。利用Metropolis準則，在模擬計算過程中，優化當前的狀態，減少樣本生成，進而提高計算效率。

三、Metropolis準則的代碼示例

下面是一個在Python中實現Metropolis準則的示例代碼，用於計算一個簡單的帶有高斯雜訊的正弦函數：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def sin(x, a, b):
    return a * np.sin(b * x)

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y_obs = sin(x, 1, 2) + np.random.normal(scale=0.1, size=100)

def metropolis_hastings(func, niter=1000):
    naccept = 0
    xs = np.zeros(niter+1)
    xs[0] = 0.5
    for i in range(niter):
        x_prev = xs[i]
        x_star = x_prev + np.random.normal(scale=0.1)
        if np.random.rand() < func(x_star)/func(x_prev):
            xs[i+1] = x_star
            naccept += 1
        else:
            xs[i+1] = x_prev
            
    return xs, naccept/niter

xs, acc = metropolis_hastings(lambda x: np.exp(-(y_obs-sin(x, 1, 2))**2), niter=10000)

plt.plot(x, y_obs, 'k.')
plt.plot(x, sin(x, 1, 2), 'b')
plt.plot(x, sin(xs.mean(), 1, 2), 'r', lw=3)
plt.text(0.5, 2, f"Accept rate: {acc:.2f}")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

四、Metropolis準則在模擬中的應用

Metropolis準則在Monte Carlo模擬中的應用非常廣泛，在物理、化學、金融等領域均有應用。例如，在物理學中，通過使用Metropolis準則，可以從哈密頓量中採樣得到實際狀態的能量分布情況，這對於研究固體材料、液體等的熱力學性質非常有意義。

在金融領域，Metropolis準則可用於風險管理。例如，可以通過Monte Carlo模擬預測股票波動，根據Metropolis準則篩選出具有實際投資價值的樣本，進而優化投資決策。