Funksvd演算法理解與實現

一、演算法簡介

基於矩陣分解的推薦演算法是目前最為流行的推薦演算法之一。其中SVD演算法在矩陣分解領域中佔據了重要地位。而FunkSVD演算法則是對SVD演算法的改進，通過加入偏置項和正則化項來提高演算法的性能。

假設有一個用戶數據矩陣，其中每一行代表一個用戶對不同物品的評分，每一列代表一種物品。矩陣中可能存在一些空白值，這些代表用戶沒有對該物品進行評分。推薦系統的目的就是預測出這些空白值，從而為用戶提供更加個性化的推薦。FunkSVD演算法就是通過分解原始的用戶數據矩陣，得到兩個低維向量矩陣U和V，從而對未知評分進行預測。

二、演算法原理

假設矩陣R為用戶數據矩陣，其中第i行第j列的值r_ij表示用戶i對物品j的評分情況。我們需要將原始矩陣R分解成兩個矩陣U和V的點積形式，其中矩陣U的第i行代表用戶i的特徵向量，矩陣V的第j行代表物品j的特徵向量。具體來說，我們有以下的過程：

import numpy as np
def FunkSVD(R, K, alpha, beta, iterations):
    # R: User-Item評分矩陣
    # K: 隱含向量的長度
    # alpha: 學習速率
    # beta: 正則化參數
    # iterations: 迭代次數
    # U: User矩陣，V: Item矩陣
    U = np.random.rand(R.shape[0], K)
    V = np.random.rand(R.shape[1], K)
    for it in range(iterations):
        for i in range(R.shape[0]):
            for j in range(R.shape[1]):
                if R[i][j] > 0:
                    e_ij = R[i][j] - np.dot(U[i,:],V[j,:].T)
                    for k in range(K):
                        U[i][k] += alpha * (2 * e_ij * V[j][k] - beta * U[i][k])
                        V[j][k] += alpha * (2 * e_ij * U[i][k] - beta * V[j][k])
    return U, V

在代碼實現中，我們需要使用一個循環來進行迭代。迭代過程中，我們要遍歷矩陣R中的每個值，如果發現該值是非零值，則計算該值的誤差，並修正矩陣U和矩陣V。誤差的計算公式為預測評分值與真實評分值的差值。每次迭代時，我們會使用所有非零值進行參數更新，直到達到指定的迭代次數。

特別地，在FunkSVD演算法中，我們加入了偏置項和正則化項。偏置項的目的是對用戶和物品的評分進行修正，讓評分值更加準確。而正則化項則是為了防止出現過擬合現象，強制讓模型更加平滑，並且讓用戶和物品的特徵向量更加接近。

三、演算法優勢

FunkSVD演算法具有以下的優勢：

• 基於矩陣分解，能夠對大規模數據進行處理，提高了演算法的效率。
• 加入了偏置項和正則化項，能夠更加準確地對評分值進行預測，避免了過擬合現象。
• 具有一定的可解釋性，可以分析用戶和物品的特徵向量，從而了解用戶和物品之間的關聯性。

四、使用示例

我們可以使用FunkSVD演算法對一個電影評分的數據進行預測。在這個數據集中，我們有943個用戶和1682部電影，評分值的範圍是1~5分。代碼實現如下：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 載入數據
url = 'https://raw.githubusercontent.com/achilles-10/FunkSVD/master/Movie_Ratings.csv'
data = pd.read_csv(url)

# 分割數據集
train_data, test_data = train_test_split(data, test_size=0.2)

# 轉換為User-Item評分矩陣
R = train_data.pivot_table(values='rating', index='user_id', columns='movie_id')

# 使用FunkSVD演算法進行預測
U, V = FunkSVD(R.values, K=30, alpha=0.002, beta=0.02, iterations=100)

# 對測試集進行預測，並計算均方根誤差（RMSE）
y_pred = np.dot(U, V.T)[test_data['user_id']-1, test_data['movie_id']-1]
y_true = test_data['rating'].values
rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_true, y_pred))
print('RMSE: %.2f' % rmse)

通過運行上述代碼，就可以得到預測的均方根誤差。通過對不同參數的調整，可以進一步提高演算法的準確性。

五、總結

通過本文的介紹，我們了解了FunkSVD演算法的原理和優勢，在實際應用中可以對數據進行矩陣分解，從而提高推薦演算法的準確性。在代碼實現中，我們需要注意參數的調整和數據集的預處理，以便得到更加準確的預測結果。