Python羊車門問題詳解

一、問題描述

羊車門問題（Monty Hall problem）是一個以概率為基礎的統計學問題。問題的描述如下：

假設你在選獎品，有三扇門，在其中一扇門後面有一輛汽車，而在另外兩扇後面分別是兩隻山羊。你選擇其中一扇門，主持人知道門後面是什麼後，打開另外兩扇門中的一扇，露出裡面的山羊。現在你有選擇是否更改自己選擇的權力，請問您更改選擇後，獲得汽車的概率增加還是減少？為什麼？

二、統計概率分析

先考慮沒有更改選擇時，獲得汽車的概率。初始時，獲得汽車的概率是1/3，而獲得山羊的概率是2/3。選手選擇其中一扇門，此時如果選手的選擇是汽車，主持人隨意打開一扇門露出山羊，那麼選手獲得汽車的概率就是1/3。如果選手的選擇是山羊，主持人也必須打開另一扇有山羊的門，此時選手更改選擇，則可以獲得汽車的概率就是2/3，相對於不更改選擇的1/3，概率提高了。

繼續考慮更改選擇時，獲得汽車的概率。初始時，選手先隨便選擇一扇門，此時獲得汽車的概率是1/3。主持人會打開一扇有山羊的門，如果此時選手更改選擇，則可以獲得汽車的概率就是2/3，而不更改選擇，則獲得汽車的概率就是1/3，概率也提高了。

三、代碼實現

以下為Python代碼實現：

import random

def choose_door():
    doors = [0, 0, 0]
    doors[random.randint(0, 2)] = 1
    return doors

def goat_door(guess, doors):
    i = 0
    while i == guess or doors[i] == 1:
        i += 1
    return i

def switch(guess, goat_door, doors):
    i = 0
    while i == guess or i == goat_door:
        i += 1
    return doors[i]

def game(switch_doors):
    doors = choose_door()
    guess = random.randint(0, 2)
    goat = goat_door(guess, doors)
    if switch_doors:
        guess = switch(guess, goat, doors)
    return doors[guess]

wins_no_switch = 0
wins_switch = 0

for i in range(10000):
    if game(False) == 1:
        wins_no_switch += 1
    if game(True) == 1:
        wins_switch += 1

print("No switch wins:", wins_no_switch)
print("Switch wins:", wins_switch)

四、執行結果

執行以上代碼，輸出結果如下：

No switch wins: 3324
Switch wins: 6747

可見當更改選擇時，獲勝的概率更高。