LinUCB演算法及其應用

一、理論基礎

LinUCB演算法是一種多臂老虎機（multi-armed bandit）演算法，用於在決策者需要同時選取多個選項的情況下做出最優決策。在每一次迭代中，LinUCB演算法會根據之前的累積收益，動態調整其對每個選項的評估，最終選擇期望收益最高的選項。

具體而言，LinUCB演算法以線性回歸模型作為決策模型，即假設每個選項的收益與一組諸如特徵向量等特徵相關。在每一次迭代中，演算法會根據之前的觀測結果，更新這組特徵，並用它們構建線性回歸模型。對於每個選項，演算法會計算出其期望收益的置信區間，然後選取置信區間上界最大的選項作為本次迭代的選擇。

演算法的核心公式如下：

for t = 1,2,...,T do:
    for i = 1,2,...,K do:
        theta[i] = (A[i].T*A[i]).inv * A[i].T*b[i]
        p[i] = theta[i].T*x[i] + alpha * sqrt(x[i].T * (A[i].T*A[i]).inv * x[i])
    end for
    I(t) = argmax(p)
    r(t) = observe(I(t))
    A[I(t)] = A[I(t)] + x[I(t)]*x[I(t)].T
    b[I(t)] = b[I(t)] + r(t)*x[I(t)]
end for

二、核心思想

LinUCB演算法的核心思想是對選項的評估進行動態調整，使得每個選項的期望收益值逐漸靠近真實值。這一過程涉及到兩個重要的元素：

1. 特徵表示：LinUCB演算法將每個選項的收益與一組諸如特徵向量等特徵相關，這些特徵可以反映選項的優劣勢、偏好等因素。

2. 不確定性估計：LinUCB演算法使用置信區間的上界作為各選項期望收益的上界，這種方式可以通過探索選擇不確定性大的選項來降低選項之間的決策風險。

三、應用場景

LinUCB演算法可以廣泛應用於需要同時選擇多個選項的決策問題，例如在線廣告投放、推薦系統、實驗設計等領域。以下是一個在線廣告投放的例子。

假設某個廣告公司需要在某個網站的空閑廣告位上展示廣告，該公司有若干個廣告候選項，每展示一次廣告都會產生一定的收益。但由於用戶的興趣和反應不同，收益是不確定的。該公司需要設計一個演算法，動態調整每個廣告候選項的權重，以最大化總收益。

這個問題可以使用LinUCB演算法進行求解。具體而言，該公司可以先針對每個廣告候選項確定一組特徵向量，例如廣告內容相關的詞語、廣告投放的時間段等。然後，他們可以使用LinUCB演算法不斷更新這些特徵向量，並以它們作為線性回歸模型的輸入。在每次展示廣告時，他們可以用該模型對各個廣告候選項的期望收益進行評估，並選取期望收益最高的廣告作為本次展示的選擇。這一過程會在不斷觀測到用戶的反應後不斷更新，以逐漸趨近於最優解。

四、代碼示例

以下是一個簡單的LinUCB演算法實現的Python代碼示例。其中，gamma表示置信區間的係數，features表示每個選項對應的特徵向量，rewards表示每次選擇對應的收益。

import numpy as np

class LinUCB:
    def __init__(self, alpha, gamma, n_features):
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.n_features = n_features
        self.A = [np.eye(n_features) for _ in range(n_arms)]
        self.b = [np.zeros(n_features) for _ in range(n_arms)]

    def select(self, features):
        p = [0.0] * len(self.A)
        for i, A, b in zip(range(len(self.A)), self.A, self.b):
            theta = np.dot(np.linalg.inv(A), b)
            p[i] = np.dot(theta, features) + self.alpha * np.sqrt(np.dot(np.dot(features, np.linalg.inv(A)), features))
        return np.argmax(p)

    def update(self, arm, features, reward):
        self.A[arm] += np.outer(features, features)
        self.b[arm] += reward * features * 1.0
        
alpha = 1.0
gamma = 1.0
n_features = 5
n_arms = 10

linucb = LinUCB(alpha, gamma, n_features)
features = np.random.rand(n_features)
rewards = np.random.rand(n_arms)

for i in range(100):
    arm = linucb.select(features)
    reward = rewards[arm]
    linucb.update(arm, features, reward)