深入探究fast演算法

一、基礎知識

Fast演算法是一種基於快速傅里葉變換（FFT）的演算法，可以大幅提高多項式求逆、多項式求值等問題的運算速度。FFT演算法將多項式轉化成點值表示，再通過神奇的分治思想將點值表示轉化成係數表示，進而實現多項式之間的高效運算。

二、演算法流程

根據FFT演算法的思想，fast演算法的主要流程可以分為以下幾步：

1.預處理：
  a.選擇一個大於等於n的2的整數次冪m，構造一個大小為m的數組a，並將輸入的n個係數按照升冪排列填充進去。
  b.計算m個複數ωn^0,ωn^1,…,ωn^(m-1)，其中ωn=exp(2πi/n)，並存儲在一個數組w中。
2.變換：
  a.在a數組中將原多項式轉化成以點值(nw^0,nw^1,…,nw^(n-1))表示的形式，並存儲在一個數組v中（如果快速求多點值問題，則直接輸入多點值，不需要進行變換）。
  b.利用分治思想進行DFT（離散傅里葉變換）操作，將v數組轉化為以係數表示的形式u。
3.逆變換：
  a.通過u數組重構多項式。如果需要求解多項式求逆問題，則直接將u數組用於逆變換即可得到所求結果。如果需要快速求多點求值問題，還需將u數組做取模等操作得到最終結果。

三、演算法實現

下面展示一個利用快速傅里葉變換求解多項式之間加、減、乘運算的示例代碼：

#define cd complex<double>
const double PI = acos(-1.0);
int rev[MAXN];
cd a[MAXN], b[MAXN];
inline void FFT(cd *a, int n, int flag)
{
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
        if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    for (int k = 2; k <= n; k <> 1;
        cd Wn(cos(2 * PI / k), flag * sin(2 * PI / k));
        for (int i = 0; i < n; i += k)
        {
            cd w(1.0, 0.0);
            for (int j = i; j < i + mid; ++ j, w = w * Wn)
            {
                cd x = a[j], y = w * a[j + mid];
                a[j] = x + y; a[j + mid] = x - y;
            }
        }
    }
    if (flag == -1) for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i] /= n;
}
inline void init(int n)
{
    int L = -1;
    for (int i = 0; i > 1] >> 1 | (i & 1) <> 1;
    solve(l, mid);
    int n = 1; while (n <= r - l + 1) n <<= 1;
    init(n << 1);
    for (int i = l; i <= mid; ++ i) b[i - l] = a[i];
    for (int i = mid + 1; i <= r; ++ i) b[r - mid + i - l - 1] = a[i];
    FFT(b, n, 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) b[i] *= b[i];
    FFT(b, n, -1);
    for (int i = l; i <= r; ++ i) a[i] = b[i - l] / (n << 2);
    solve(l, mid);
    solve(mid + 1, r);
}

四、演算法優化

在實際應用中，fast演算法的性能優化是一個重要的研究方向。以下列舉幾種常見的優化策略：

1.分治優化

在實現多項式乘法時，可以利用卷積定理進行分治，並對每個子問題使用FFT演算法求解。例如將兩個多項式分別拆分成左半部分和右半部分，每個子問題的規模減少一半。這樣可以將時間複雜度優化至O(nlog^2n)。

2.優化FFT實現

FFT演算法中的DFT操作是瓶頸，因此可以通過各種技巧優化DFT實現的效率，例如蝶形運算優化、位逆序置換、遞歸展開、避免重複計算點值等等。在實現時，可以參考一些經典FFT庫的實現進行優化。

3.將mod運算提取

當需要對多項式進行取模、求逆、求導等操作時，可以提前對係數進行取模，在計算過程中進行模運算，最後再對結果做取模即可。由於mod運算開銷較大，這種策略可以帶來深度優化。

4.多項式優化

根據實際需要，可以通過嘗試調整多項式係數的排列順序、引入牛頓迭代優化多項式求解、進行係數約減等方法優化演算法實現。值得注意的是，在優化過程中需要進行多組數據測試進行評估，以避免不必要的副作用。