Matlab自定義函數擬合

一、擬合概述

擬合（Fitting）是指用某種函數描述數據的過程。在Matlab中，可以通過自定義函數擬合對數據進行處理。自定義函數擬合是將函數調整為最接近數據集的形式的過程。

Matlab中自定義函數可以使用polyfit函數進行擬合。設置x、y兩個輸入變數和一個n階多項式，函數將返回p個係數，使得下式成立：

y = p(1)*x^n + p(2)*x^(n-1) + … + p(n)*x^0

擬合函數在數據中找到一個最合適的曲線去描述數據。這個曲線可以是通過多項式、指數、對數等等不同類型的函數實現的。

二、自定義函數擬合

1、自定義函數語法

在Matlab中，定義自定義函數時使用function關鍵字。函數文件名應與函數名稱相同。例如，定義名為addition的函數：

function z = addition(x, y)
  z = x + y;
end

其中，x和y是輸入變數，z是輸出變數。這個函數可以通過調用addition(x, y)來執行。

2、自定義多項式函數擬合

可以定義一個函數f(x, c)，其中c是多項式係數，來實現多項式函數的擬合。

例如，定義一個自定義函數polyFitting，來進行n次多項式函數的擬合，如下所示：

function [p, f] = polyFitting(x, y, n)
    f = @(c) sum(c .* x .^ (n:-1:0), 2) - y;
    p = lsqnonlin(f, zeros(n+1,1));
end

其中，x和y是輸入的數據集合，n是多項式的次數。x的大小應該是[N x 1]，而y的大小應該是[N x 1]。最後，使用p(1)到p(n+1)表示多項式的係數。

調用方法如下：

x = 0:0.1:10;
y = 2*x.^2 + 4*x + 1 + randn(1,length(x));
[p,f] = polyFitting(x',y',2);
plot(x,y,'b.')           
hold on                  
xx = 0:0.1:10;
yy = polyval(p,xx,[],1);
plot(xx,yy,'r')           
hold off

在上面的示例中，我們使用polyval函數來計算擬合函數的值，並與原始數據作圖進行比較。

三、應用示例

1、擬合正弦函數

我們可以通過擬合正弦函數，來進行自定義函數擬合的應用示例。

function [param, yFit] = fitSinusPattern(x, y)
% Fit sinusoidal pattern to y(x)
% Input: x,y input data
% Output: param is a struct containing the parameters:
%   param.amp    amplitude of the sinusoid
%   param.freq   frequency of the sinusoid
%   param.phase  phase shift of the sinusoid
% yFit is the values of the fitted function corresponding to the input x

    % define the function to be minimized
    fitFunc = @(p) p(1)*sin(2*pi*p(2)*x+p(3))-y;
    % set initial parameter guesses
    p0 = [range(y)/2, 1/mean(diff(x))/2, pi/4];
    % fit the function (using 'fminsearch')
    options = optimset('Display','off', 'TolFun',1e-12, 'TolX',1e-12);
    param = fminsearch(fitFunc, p0, options);
    % evaluate the fitted function at x values
    yFit = param(1)*sin(2*pi*param(2)*x+param(3));
end

我們輸入x，y，自定義的函數fitSinusPattern將計算出相應的正弦擬合參數和擬合處理後的函數yFit。下面我們來進行測試：

x = linspace(0,2*pi,100);
y = 2*sin(3*x+pi/2) + 1 + randn(size(x));
[param, yFit] = fitSinusPattern(x,y);
plot(x,y,'b.')   
hold on       
plot(x,yFit,'r')
hold off

結果如下：

2、擬合二次曲線

在這個例子中，我們將擬合一個二次曲線。

function [param, yFit] = fitQuadratic(x, y)
% Fit a quadratic polynomial function to y(x)
% Input: x,y input data
% Output: param is a struct containing the parameters:
%   param.a    coefficient of x^2
%   param.b    coefficient of x
%   param.c    constant
% yFit is the values of the fitted function corresponding to the input x

    % define the function to be minimized
    fitFunc = @(p) polyval(p,x) - y;
    % set initial parameter guesses
    p0 = polyfit(x,y,2);
    % fit the function (using 'lsqnonlin')
    options = optimoptions('lsqnonlin', 'Algorithm','levenberg-marquardt', ...
                           'MaxIter',1e3, 'MaxFunEvals',1e3, ...
                           'FunctionTolerance',1e-12, 'StepTolerance',1e-12);
    p = lsqnonlin(fitFunc, p0, [], [], options);
    param.a = p(1);
    param.b = p(2);
    param.c = p(3);
    % evaluate the fitted function at x values
    yFit = param.a*x.^2 + param.b*x + param.c;
end

我們輸入x，y，自定義的函數fitQuadratic將計算出相應的二次擬合參數和擬合處理後的函數yFit。下面我們來進行測試：

x = linspace(0,10,100);
y = 2*x.^2 + 4*x + 1 + randn(size(x));
[param, yFit] = fitQuadratic(x,y);
plot(x,y,'b.')           
hold on                  
plot(x,yFit,'r')           
hold off

結果如下：

3、擬合高斯函數

在這個例子中，我們將擬合一個高斯函數。

function [param, yFit] = fitGaussian(x, y)
% Fit a Gaussian function to y(x)
% Input: x,y input data
% Output: param is a struct containing the parameters:
%   param.a    amplitude
%   param.b    mean
%   param.c    sigma
% yFit is the values of the fitted function corresponding to the input x

    % define the function to be minimized
    fitFunc = @(p) p(1)*exp(-((x-p(2))./p(3)).^2/2) - y;
    % set initial parameter guesses
    p0 = [range(y), mean(x), std(x)];
    % fit the function (using 'lsqnonlin')
    options = optimoptions('lsqnonlin', 'Algorithm','trust-region-reflective', ...
                           'MaxIter',1e3, 'MaxFunEvals',1e3, ...
                           'FunctionTolerance',1e-12, 'StepTolerance',1e-12);
    p = lsqnonlin(fitFunc, p0, [], [], options);
    param.a = p(1);
    param.b = p(2);
    param.c = p(3);
    % evaluate the fitted function at x values
    yFit = param.a*exp(-((x-param.b)./param.c).^2/2);
end

我們輸入x，y，自定義的函數fitGaussian將計算出相應的高斯擬合參數和擬合處理後的函數yFit。下面我們來進行測試：

x = linspace(-5,5,100);
y = 2*exp(-(x-1).^2/(2*0.5^2))+1 + randn(size(x));
[param, yFit] = fitGaussian(x,y);
plot(x,y,'b.')           
hold on                  
plot(x,yFit,'r')           
hold off

結果如下：

四、總結

本文提供了Matlab自定義函數擬合方案，涉及到多項式函數、正弦函數、二次曲線和高斯函數的擬合處理。通過定義自定義函數，然後用Matlab自帶的函數polyfit進行調用，得出擬合結果。這些方法都使用了現成的Matlab自帶函數及自定義函數，讀者也可以根據需要自定義擬合演算法，以達到需要的擬合效果。