笛卡爾乘積

一、什麼是笛卡爾乘積

笛卡爾乘積，也稱為直積，是指多個集合中所有元素的排列組合。如果有兩個集合A和B，它們的笛卡爾積為{(a,b) | a∈A, b∈B}，其中(a,b)為有序對。

在編程中，我們可以使用for循環嵌套來實現笛卡爾積的計算。例如，我們有兩個數組a和b，可以使用以下代碼來計算它們的笛卡爾積：

for i in range(len(a)):
    for j in range(len(b)):
        print((a[i], b[j]))

該代碼會列印出a和b所有元素的排列組合：

(1, 'a')
(1, 'b')
(1, 'c')
(2, 'a')
(2, 'b')
(2, 'c')
(3, 'a')
(3, 'b')
(3, 'c')

二、笛卡爾乘積的應用

1. 生成隨機密碼

在生成隨機密碼時，我們可以使用笛卡爾乘積來生成符合要求的組合。例如，我們需要生成一個6位數的密碼，包含數字和字母，可以使用以下代碼：

import random

digits = '0123456789'
letters = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'

password = ''
for i in range(6):
    if i % 2 == 0:
        password += random.choice(digits)
    else:
        password += random.choice(letters)

print(password)

輸出結果可能為：

5sM2C8

該代碼先定義了數字和字母的集合，然後使用笛卡爾積生成了所有可能的排列組合。由於密碼必須包含數字和字母，我們設置了一個條件：密碼的第1、3、5位必須是數字，而第2、4、6位必須是字母。

2. 獲取表格數據

在獲取表格數據時，我們可以使用笛卡爾積來組合每一行數據。例如，我們有一個表格，包含姓名、性別和年齡三列，可以使用以下代碼獲取所有數據：

names = ['張三', '李四', '王五']
genders = ['男', '女']
ages = ['18歲', '25歲', '30歲']

for name in names:
    for gender in genders:
        for age in ages:
            print(name, gender, age)

輸出結果為：

張三 男 18歲
張三 男 25歲
張三 男 30歲
張三 女 18歲
張三 女 25歲
張三 女 30歲
李四 男 18歲
李四 男 25歲
李四 男 30歲
李四 女 18歲
李四 女 25歲
李四 女 30歲
王五 男 18歲
王五 男 25歲
王五 男 30歲
王五 女 18歲
王五 女 25歲
王五 女 30歲

三、笛卡爾積的實現

下面是一個Python實現笛卡爾積的示例代碼：

def cartesian_product(*iterables):
    pools = [tuple(iterable) for iterable in iterables]
    result = [[]]
    for pool in pools:
        result = [x+[y] for x in result for y in pool]
    for prod in result:
        yield tuple(prod)

該代碼定義了一個函數cartesian_product，可以接受多個可迭代對象作為參數，返回它們的笛卡爾積。例如，我們有兩個列表a和b，可以使用以下代碼計算它們的笛卡爾積：

a = ['x', 'y']
b = [1, 2]

for c in cartesian_product(a, b):
    print(c)

輸出結果為：

('x', 1)
('x', 2)
('y', 1)
('y', 2)

該函數的實現原理是利用嵌套的列表推導式，生成所有可能的排列組合，並使用一個生成器返回每個組合。

四、總結

笛卡爾乘積是一種非常有用的數學和編程概念，在許多場景中都有廣泛的應用，例如密碼生成、表格數據獲取等。我們可以使用for循環嵌套或者自定義函數來計算笛卡爾積，在實際應用中具有很高的靈活性和可擴展性。