GLM模型詳解

一、GLM模型是什麼

廣義線性模型（Generalized Linear Models，縮寫為GLM）是傳統線性模型的擴展，廣泛用於解決不同種類的數據分析問題。它通過將響應變數和預測變數之間的關係轉化為一個數值分布的形式，從而可以用於對不滿足線性模型假設的響應變數進行建模。GLM模型將響應變數的概率分布與一類廣義線性模型聯繫在一起，從而提供了一種靈活的建模框架。

GLM模型的基本假設是響應變數Y是一個某種已知的概率分布（例如正態分布、泊松分布、伽馬分布）的一次隨機結果，其均值μ是一個由預測變數X所決定的非線性函數。由於概率分布的不同，GLM模型的形式也因此應運而生。例如，將響應變數定義為二項分布，我們可以構建邏輯回歸模型；將響應變數定義為泊松分布，則可以構建泊松回歸模型。

二、GLM模型使用的前提

在使用GLM模型之前，我們必須確保響應變數滿足幾個重要的前提假設：隨機樣本、線性內在形式（對數意義）、同方差以及獨立性。其中隨機性和獨立性是統計建模的基本前提，而線性內在形式和同方差則是廣義線性模型的特殊要求。

三、GLM模型簡化

GLM模型的簡化可以表示為：假設我們有一個只有最基本的顯式偏差項（無預測變數）的模型。在這種情況下，響應變數的均值等於具有恆定值的預測變數（常數）。另外還可以建立一個只有一個單一的預測變數的模型，即一個在線性預測上等價的常數效應模型。此時，預測變數的關係被假定為恆定的，即預測變數的斜率為常數。

四、GLM模型假設

GLM模型依賴於一些前提和假設。其中最重要的是

（1）響應變數是獨立隨機變數

（2）我們可以通過指定一個數值分布來描述響應變數的概率分布

（3）對於對數意義的線性預測方程，響應變數的期望與預測變數之間存在固定的函數關係，即均值為某個函數關係

五、GLM模型操作

在實際應用中，建立GLM模型大致需要以下幾個步驟：

（1）選擇正確的響應變數和預測變數

（2）選擇恰當的GLM模型（確定概率分布、關係函數等）

（3）對數據進行清理和轉換

（4）擬合模型，並評估模型的狀態和性能

（5）進行模型選擇，選擇最適合數據的模型

六、GLM模型和邏輯回歸

邏輯回歸是廣義線性模型的一種特殊形式，它是用於建立分類模型的一種常見方法。邏輯回歸模型將事件的概率（二項分布）與一個線性組合聯繫在一起，從而將預測變數的值映射到一個0到1之間的概率值。邏輯回歸模型是GLM模型的一種，其中響應變數是二元分類，而預測變數可以是連續或分類變數。邏輯回歸模型在生物統計學和醫療統計學中廣泛應用，用於預測患病率和治療效果等問題。

七、MLM模型

多級模型（Multilevel Models, 縮寫為MLM）也稱分層模型，是廣義線性模型的一種擴展形式。MLM模型中包含兩個或多個可以歸類為「層級」的變數，這些變數可能是群體、區域、機構或時間等。通過將個體和群體之間的方差分解為兩個部分——「一個來自群體間變異，一個來自個體內變異」，MLM模型可以用於研究個體與群體之間的關係，並明確個體和群體之間的這種關係如何影響結果變數。MLM模型廣泛應用於教育學、社會科學、心理學和醫學等領域。

八、GAM模型選取

廣義相加模型（Generalized Additive Models，縮寫為GAM）於1986年提出，是線性模型的擴展形式之一。GAM模型適用於響應變數為連續變數，而預測變數可以使連續變數、分類變數或混合類型，GAM模型通過添加非線性平滑函數來擴展線性模型，從而解決了線性模型對非線性關係的靈活性不足的問題。GAM模型廣泛應用於氣象學、環境科學、地球物理學、經濟學、金融學和醫學等領域中，這些領域的數據常常具有複雜的非線性關係。

#GLM模型使用示例

#載入數據
data(mtcars)

#定義變數
dependent_var <- mtcars$mpg
independent_var <- mtcars$wt

#創建GLM模型
model <- glm(dependent_var~independent_var, family = gaussian(link = "identity"))

#輸出模型概述
summary(model)