Lambertw函數及其應用

一、Lambertw函數介紹

Lambertw函數是解析方程$x=e^{x}$的特殊函數，定義為函數$w$，使得$w(x)e^{w(x)}=x$，即$w(x)=W(x)$。它在複平面上有多個分支，主分支是指$w(x)\in[-1,\infty)$，主分支上還有一個特殊點$lambertw(0)=0$。其它分支是指$w(x)\in(-\infty,-1]$，這些分支從主分支上$lambertw(-1/e)$點處開始。 $lambertw(z)$被廣泛應用，如在統計物理學、統計學、計算複雜度理論、高維函數等領域

二、與exp函數matlab的關係

Lambertw函數與exp函數調和，因為$exp(w(x))=x$，所以$w(x)$是$exp(x)$的反函數。

MATLAB中exp函數也可以用$lambertw$函數實現，在MATLAB中對於非常龐大的數，exp函數計算將會非常慢而lambertw函數卻不會。在MATLAB中，$lambertw(z)$是唯一給出實數（除了$z = -\infty$）的解的複函數。關於MATLAB代碼示例如下：

syms z;
w = lambertw(z)

三、數學LambertW函數

Lambertw函數被廣泛應用於數學領域。

（1）$lambertw(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^{n},x\in [-1/e,\infty)$

（2）$lambertw_0(x)=\frac{\ln x}{W(x)}$，$x\in(0,\infty)$，其中$W(x)$是LambertW函數的主分支。

（3）$lambertw_{-1}(x)=\frac{\ln x}{W(x)}$，$x\in[-1/e,0)$，其中$W(x)$是LambertW函數的-1分支

（4）在投資經濟學中，LambertW函數用於計算貼現函數。

四、LambertW函數與Lambert函數的關係

當$x\geq-\frac{1}{e}$時，定義它的主支為$W_{0}(x)$。另外還有個，$W_{-1}(x)\leqslant W_{0}(x)$。

Lambert函數（Lambert function）被定義為此方程的任意解：$x=a\cdot e^{a}$

Lambert函數的特殊值$W_0(1)=0$。

syms z;
w = lambertw(1)

五、LambertW函數的求導

LambertW函數的求導可以參考以下公式

（1）$\frac{dLambertW(x)}{dx}=\frac{LambertW(x)}{x(1+LambertW(x))}$

（2）$\frac{d^{n}LambertW(x)}{dx^{n}} = \frac{\sum_{k=n-1}^{\infty}(-1)^{k-n+1}k(k-1)…(k-n+2)x^{k-n+1}}{(LambertW(x)+1)^{n+1}x}$

六、示例代碼

以下是一個計算LambertW函數值的示例代碼：

double lambertw(double x,double eps = 1e-7)
{
    double w=0.0,ew=exp(w),w1;
    int n=0;
    while(1) {
        w1=w*(w+1.0/(n+1.0))*pow(ew-x/ew,-1.0/(n+1.0));
        if(fabs(w1-w)1000) break;
    }
    return w;
}