楊氏不等式

一、楊氏不等式的推廣

楊氏不等式最早是楊士鈞在1926年推廣了柯西不等式和阿貝爾不等式得到的，具體是這樣的：

設 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 為 $n$ 個非負實數，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 為 $n$ 個正實數，則有：
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\sum_{j=1}^na_j^{m_j}$$

當 $m_1=m_2=\dots=m_n=2$ 時，就是楊氏不等式的一般形式。

二、楊氏不等式一般形式

設 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 為 $n$ 個非負實數，$m_1,m_2,\dots,m_n$ 為 $n$ 個正實數，則有:

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j^{m_i-1}a_j^{m_j-1}\geqslant\left(\sum_{i=1}^na_i^{m_i}\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^na_j^{m_j}\right)$$

其中，$a_i$ 和 $m_i$ 都是非負實數。

三、楊氏不等式的研究背景

楊氏不等式是不等式數學中非常重要的一類不等式，它在數學、物理、化學等各個領域都有廣泛的應用。

特別的，楊氏不等式對於概率統計學來說具有很大的應用價值。比如，在處理樣本方差問題時，如果能夠正確地運用楊氏不等式，就可以極大地提高處理樣本方差問題的準確度。

四、楊氏不等式的矩陣形式

首先，將數列 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 看作 $n\times 1$ 的列向量

$$\bm{a}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$$

設 $M_i$ 表示第 $i$ 個數為 $m_i$，則楊氏不等式也可寫成矩陣形式：

$$\left(\bm{a}^T\bm{A}\bm{a}\right)^2\geqslant\left(\bm{a}^T\bm{D}\bm{a}\right)\cdot\left(\bm{a}^T\bm{B}\bm{a}\right)$$

其中：

$$\bm{A}=\begin{bmatrix}m_1-1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & m_2-1 & \cdots & 1 \\ \vdots& \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & 1 & \cdots & m_n-1 \end{bmatrix},\bm{B}=\operatorname{diag}(a_1^{2(m_1-1)},a_2^{2(m_2-1)},\dots,a_n^{2(m_n-1)})$$

而 $\bm{D}$ 的元素為：

$$d_{ij}\begin{cases}0 & i=j\\a_ia_j^{|m_i-m_j|} & i\neq j\end{cases}$$

五、楊氏不等式的公式

楊氏不等式的公式可以通過上面楊氏不等式的矩陣形式得到，具體如下：

$$\left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0$$

六、Minkowski不等式

楊氏不等式是Minkowski不等式的一個特殊情況，它是一類重要的幾何平均不等式。

設 $p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在區間 $[a,b]$ 上的非負實值連續函數，那麼有：

$$\left(\int_a^bf(x)g(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\leqslant\left(\int_a^bf^p(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\int_a^bg^q(x)\text{d}x\right)^{\frac{1}{q}}$$

七、楊氏不等式的積分形式

楊氏不等式也可以寫成積分形式：

$$\int_0^1f(x)\text{d}x\cdot\int_0^1g(x)\text{d}x\leqslant\int_0^1f(x)g(x)\text{d}x+\int_0^1(1-x)\cdot f'(x)\cdot g'(x)\text{d}x$$

八、楊氏不等式的例題

例 1：已知 $a,b,c\in\mathbb{R^+}$，則有：

$$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\geqslant\frac{27}{abc}$$

證明：

首先將一個括弧展開得到：

$$abc+\sum_{cycl}\frac{a}{c}+\frac{1}{abc}\geqslant\frac{27}{abc}$$

等價於：

$$ab+bc+ca+\sum_{cycl}\frac{a^2}{c}\geqslant 3(a+b+c)$$

然後，利用楊氏不等式即可證明：

$$\begin{aligned}\sum_{cycl}\frac{a^2}{c}&\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\\&=a+b+c\end{aligned}$$

因此，原式成立。

九、楊氏不等式的幾何意義

楊氏不等式的幾何意義可以從數學中的向量運算上理解，它表示兩個向量之間的夾角越小，它們的內積越大。

十、楊氏不等式證明過程

1、準備工作

先將原式簡化：

$$\left(\sum_{i=1}^nm_ia_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nm_i}\right)^2\geqslant0$$

設 $A=\sum_{i=1}^na_i,B=\sum_{i=1}^nb_i^2,C=\sum_{i=1}^na_i^2,D=\sum_{i=1}^nb_i^2a_i,E=\sum_{i=1}^na_i^2b_i$，則有：

$$\begin{cases}\frac{1}{m_i}\cdot a_i=b_i & (i=1,2,\dots,n)\\\sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2-C=A^2-2AC+D\\\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{A}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}=\frac{A^2-mnBD}{nB\sum\limits_{i=1}^nm_i}\\\left(\sum\limits_{i=1}^n m_ia_i^2-\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\right)^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{m_i}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}\right)^2\end{cases}$$

2、證明過程

觀察到如果 $A^2\geqslant nB\cdot C$，則原式顯然成立。考慮 $A^2<nB\cdot C$，則式子右側一定大於等於零。

接下來，我們只需要證明左側也大於等於零即可。

假設 $f(x)=Dx^2-2Ex+C^2$，則有：

$$\begin{aligned}f(x)&=\sum_{i=1}^nb_i^2\left(a_i-xb_i\right)^2=C^2-2xEA+Dx^2\\&=\left[\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right]^2-2E\cdot\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}+D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i}\end{aligned}$$

由於 $A^2-nBC<0$，所以存在方程的兩個根 $x_1,x_2$，使得 $x_1<0<x_2$，即：

$$D\cdot\frac{B}{\sum_{i=1}^nm_i}\cdot\left(x_1-\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\cdot\left(x_2-\frac{A^2-mnBD}{nB\sum_{i=1}^nm_i}\right)\geqslant0$$

把 $x_1,x_2$ 帶入 $f(x)$ 得：

$$f(x_1)\cdot f(x_2)\leqslant0$$

得證。