Python3整除詳解

一、整除概述

Python3 的整除有兩種方式：/ 和 //，它們的區別在於使用 / 進行計算得到的是浮點數，而使用 // 進行計算得到的是整數。

在 Python2 版本中，/ 的計算結果也是整數。但在 Python3 中，該運算符的行為被重新定義為浮點數除法。所以為了得到整數結果，需要使用 // 進行整除。

下面是一些整除的示例：

# 使用 / 進行除法計算
a = 10
b = 3
c = a / b
print(c) # 輸出結果為3.3333333333333335

# 使用 // 進行整除計算
a = 10
b = 3
c = a // b
print(c) # 輸出結果為3

二、整除與取模

整除除以一個數，會得到一個商和一個餘數。其中商即為整除的結果，而餘數為取模的結果。

Python 中的取模運算符為 %，其結果為除法運算後的餘數。

下面是一些整除和取模的示例：

# 求5除以3的結果
a, b = 5, 3
q = a // b # 整除，結果為1
r = a % b # 取模，結果為2
print(q, r) # 輸出結果為 1 2

# 求100除以10的結果
a, b = 100, 10
q = a // b # 整除，結果為10
r = a % b # 取模，結果為0
print(q, r) # 輸出結果為 10 0

三、整除和負數

當被除數為負數時，整除的結果會比正數情況下少一。

下面是一些整除和負數的示例：

# 求-10除以3的結果
a, b = -10, 3
q = a // b # 整除，結果為 -4
r = a % b # 取模，結果為 2
print(q, r) # 輸出結果為 -4 2

# 求10除以-3的結果
a, b = 10, -3
q = a // b # 整除，結果為-4
r = a % b # 取模，結果為 2
print(q, r) # 輸出結果為 -4 2

四、整除的變形

整除運算可以變形為加、減和乘法運算，這些變形常用於編寫高效的演算法。

1. 使用加法

整除 a//b 可以表示成 a/b 的整數部分加上一個整數 r：

a // b = a / b – r ，其中 r 是滿足 r <= a/b < r+1 的唯一整數。

# 求10除以3的結果
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，結果為3
r = a % b # 取模，結果為1
print(q, r) # 輸出結果為 3 1

# 使用加法算式表示整除
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，結果為3
r = a % b # 取模，結果為1
r_prime = a - q*b # 計算 r_prime = a - qb，其結果也為1
print(q, r_prime) # 輸出結果為 3 1

2. 使用乘法

整除 a//b 可以表示成用 a 和 b 的乘積的某個數 m 除以 b 的結果：

a // b = m / b ，其中 m 是滿足 a = mb + r 且 0<=r<b 的唯一整數。

# 求10除以3的結果
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，結果為3
r = a % b # 取模，結果為1
print(q, r) # 輸出結果為 3 1

# 使用乘法算式表示整除
a, b = 10, 3
q = a * pow(b, -1) # 計算 q = a * b^(-1)，其中 b^(-1) 表示 b 的逆元，其值為 0.33333...
q = int(q) # 取整，結果為3
r = a - q*b # 計算餘數，其結果為1
print(q, r) # 輸出結果為 3 1

五、整除應用場景

整除是計算機科學中常用的數學運算之一，特別在演算法和數據結構領域，整除被廣泛應用。

下面是一些整除應用場景的示例：

1. 求平均數

求一組數據的平均數，其實就是把所有數據加起來，再除以數據個數。

通常情況下，除法操作得到的結果是浮點數，為了得到整數結果，需要使用整除運算符。

data = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
n = len(data)
s = sum(data)
avg = s // n
print(avg) # 輸出結果為 3

2. 求最大公約數

求最大公約數是計算機科學中的一個重要問題。

輾轉相除法是求最大公約數的常用方法之一，其基本思想是不斷用較大數除以較小數，直到較小數為0為止，較大數即為原兩個數的最大公約數。

def gcd(a, b): # 輾轉相除法求最大公約數
    while b != 0:
        r = a % b
        a, b = b, r
    return a

a, b = 48, 60
d = gcd(a, b)
print(d) # 輸出結果為 12

3. 求最小公倍數

求最小公倍數也是計算機科學中的一個重要問題。

最小公倍數可以通過最大公約數的計算結果得出。

def gcd(a, b): # 輾轉相除法求最大公約數
    while b != 0:
        r = a % b
        a, b = b, r
    return a

def lcm(a, b): # 求最小公倍數
    d = gcd(a, b)
    return a * b // d

a, b = 48, 60
m = lcm(a, b)
print(m) # 輸出結果為 240

4. 等比數列求和

等比數列求和也是計算機科學中的一個重要問題。

等比數列的求和公式為：S = a1(1-q^n)/(1-q) ，其中 a1 為首項，q 為公比，n 為項數。

a1, q, n = 1, 2, 10
S = a1 * (1 - pow(q, n)) // (1 - q)
print(S) # 輸出結果為 1023

六、結語

本文詳細闡述了 Python3 的整除操作符的行為以及應用場景。

如果在開發實踐中遇到需要整除的情況，可以結合本文示例寫出符合自己需求的代碼。