Project Euler 解題思路 – 讓你成為高效編程大師

一、Project Euler簡介

Project Euler是一個面向數學和計算機科學的在線計劃。該計劃旨在利用計算機尋找新的數學知識和解決已知的數學難題。Project Euler提供了超過600個問題供挑戰，解決這些問題需要使用編程技能和一些數學知識。

通過解決這些問題，您可以學習新的編程技巧和演算法，以及建立數學的直覺和思維方式。

二、解題思路

Project Euler的問題通常涵蓋多個主題，包括數論、組合數學、計算幾何、概率和統計等。解決這些問題需要使用不同的方法和技巧。

三、數論問題

1、問題1 – 多個3或5的倍數和

問題描述：找到小於1000的所有3或5的倍數，並求和。

解決思路：使用循環遍歷所有小於1000的數。對於每個數，如果它是3或5的倍數，則將其添加到總和中。

sum = 0
for i in range(1000):
    if i % 3 == 0 or i % 5 == 0:
        sum += i
print(sum)

2、問題2 – 斐波那契數列中小於四百萬的偶數項之和

問題描述：找到斐波那契數列中小於四百萬的所有偶數項，並求和。

解決思路：使用循環計算斐波那契數列中的每個數，如果該數是偶數並且小於四百萬，則將其添加到總和中。

sum = 0
a, b = 0, 1
while b < 4000000:
    if b % 2 == 0:
        sum += b
    a, b = b, a + b
print(sum)

四、組合數學問題

1、問題15 – 網格路徑計數

問題描述：在一個20*20的方格網上，從左上角到右下角共有多少條不同的路徑？

解決思路：使用組合數學方法，將該問題轉化為從40個元素中選擇20個元素的組合數。使用了Python的math模塊中的階乘函數和組合函數。

import math
print(math.comb(40, 20))

五、計算幾何問題

1、問題102 – 三角形包含點的數量

問題描述：給定三個點的坐標，判斷原點是否包含在這個三角形中。

解決思路：通過計算三角形面積的方法，判斷原點是否在三角形內。利用三個點的坐標，計算三角形的面積和三個由原點到三角形頂點的線段和三角形三個頂點構成的三角形的面積之和，如果這兩個面積相等，則原點在三角形內。

def triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3):
    return abs((x1*y2 + x2*y3 + x3*y1 - x1*y3 - x2*y1 - x3*y2) / 2)

def origin_in_triangle(points):
    x1, y1, x2, y2, x3, y3 = points
    total_area = triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3)
    area1 = triangle_area(0, 0, x1, y1, x2, y2)
    area2 = triangle_area(0, 0, x2, y2, x3, y3)
    area3 = triangle_area(0, 0, x1, y1, x3, y3)
    return total_area == area1 + area2 + area3

points = [-340,495,-153,-910,835,-947]
print(origin_in_triangle(points))

六、概率和統計問題

1、問題206 – Concealed Square

問題描述：找到一個19位數，使得取除第1、3、5、7、9、11、13、15、17、19位以外的數字後，其平方數的最後10位是1234567890。

解決思路：通過構造可能的數，檢查每個數的平方最後10位是否為1234567890。平方數的最後10位是其尾數，可以使用除法和取餘數來快速計算平方數的尾數。

def check_num(n):
    square = n * n
    digits = str(square)[::2]
    return digits == '1234567890'

n = 1000000000
while True:
    if check_num(n):
        print(n)
        break
    n += 10