四元數轉旋轉矩陣

一、從旋轉矩陣轉四元數

旋轉矩陣轉四元數是一個相對簡單的過程。

#include <Eigen/Dense>
Eigen::Matrix3d rotation_matrix(3,3);
Eigen::Quaterniond quaternion(rotation_matrix);

其中，Eigen::Matrix3d是3×3的旋轉矩陣，Eigen::Quaterniond是4元數。將旋轉矩陣作為參數傳入Eigen::Quaterniond構造函數即可得到4元數。

二、四元數轉矩陣

四元數轉矩陣是四元數轉旋轉矩陣的第一步，它的實現相對簡單。

Eigen::Matrix3d rotation_matrix = quaternion.toRotationMatrix();

其中，quaternion是表示旋轉的四元數，rotation_matrix是得到的3×3的旋轉矩陣。

三、旋轉矩陣叉乘對應四元數

旋轉矩陣叉乘對應四元數是四元數轉旋轉矩陣的第二步，是一個比較複雜的過程，需要使用到補數和叉積計算。

Eigen::Matrix3d rotation_matrix(3,3);
Eigen::Vector3d axis(0.0, 0.0, 1.0);
double angle = M_PI/2.0;
rotation_matrix = Eigen::AngleAxisd(angle, axis);

Eigen::Vector3d v(1.0, 0.0, 0.0);
Eigen::Quaterniond q;
q.setFromTwoVectors(v, rotation_matrix*v);

Eigen::Matrix3d rotation_matrix_from_q = q.toRotationMatrix();

以上代碼中，axis和angle表示旋轉軸和旋轉角度，rotation_matrix是根據axis和angle生成的旋轉矩陣，v是待旋轉的向量，q是通過計算得到的四元數。這段代碼的作用是將v向量繞z軸旋轉90度，並將旋轉後的向量再次表示為一個3×3的旋轉矩陣。

四、旋轉矩陣的範數

旋轉矩陣的範數表示旋轉矩陣的大小，用來衡量旋轉的大小，它的計算公式為：

||A|| = max│λ│

其中，A為一個矩陣，λ為A的特徵值。

Eigen::Matrix3d A;
double norm_A = A.norm();

以上代碼中，A為一個3×3的旋轉矩陣，norm_A表示矩陣A的範數。

五、旋轉矩陣導數

求解旋轉矩陣的導數是比較複雜的，需要使用到一些高級矩陣運算。

Eigen::Matrix3d A;
Eigen::Matrix3d A_dot;
Eigen::Matrix3d W;
A_dot = A*W - W*A;

其中，A為一個3×3的旋轉矩陣，W為一個3×3的旋轉向量（這裡採用的是軸角表示法）。A_dot為求解得到的旋轉矩陣的導數。

六、旋轉矩陣的二範數

旋轉矩陣的二範數表示矩陣的特徵值平方和的平方根，是一個基本的矩陣運算。

Eigen::Matrix3d A;
double norm_A = A.norm();
double norm_A_squared = norm_A*norm_A;

以上代碼中，A為一個3×3的旋轉矩陣，norm_A表示矩陣A的範數，norm_A_squared表示二範數的平方。

七、旋轉矩陣的導數選取

在求解旋轉矩陣導數的過程中，如何選擇W（旋轉向量）是一個比較重要和複雜的問題。各種情況下，不同的W選擇會有不同的效果。

這裡以求解某一時刻的剛體角速度的求導為例，旋轉矩陣R在這個刻度的變化速率為：

R_dot = w x R

其中，w為剛體角速度，x表示向量叉積。因此，可以選擇旋轉向量W為：

W = [w] = {{0, -wz, wy}, {wz, 0, -wx}, {-wy, wx, 0}}

Eigen::Matrix3d R;
Eigen::Vector3d w;
Eigen::Matrix3d W;
Eigen::Matrix3d R_dot = W*R;

以上代碼中，R表示旋轉矩陣，w表示角速度，W為選擇的旋轉向量，R_dot表示R的變化速率。