粒子濾波器：探究與實踐

粒子濾波器（Particle filter）是一種基於蒙特卡羅方法的狀態估計演算法，被廣泛應用於目標跟蹤、機器人定位和導航等領域。本文將從三個方面來詳細探討粒子濾波器的相關概念、實現原理和實踐應用，並附上相應的Python代碼供讀者參考。

一、粒子濾波器的概念

粒子濾波器是一種基於概率推理的非參數學習演算法，它通過一系列隨機的樣本（粒子）來估計一個系統的狀態，並逐步迭代得到更加精確的狀態估計值。粒子濾波器通常包括三個步驟：狀態預測、重要性權重計算和重採樣。

第一步是狀態預測，即通過系統的動態模型預測下一時刻的狀態。假設當前時刻系統的狀態為 $x_{t-1}$，則預測狀態 $x_t$ 可以表示為：

x_t = f(x_{t-1}, v_t)

其中 $v_t$ 是描述系統雜訊的隨機變數，滿足 $p(v_t)$ 的概率分布。

第二步是重要性權重計算，即通過計算每個粒子的重要性權重，對其進行加權。重要性權重通過粒子在當前觀測下的似然值計算得出，可以表示為：

w_{t,i} = \frac{p(y_t | x_{t,i})}{q(y_t | x_{t,i})}

其中 $y_t$ 是當前時刻的觀測值，$x_{t,i}$ 是第 $i$ 個粒子的狀態值，$p(y_t | x_{t,i})$ 和 $q(y_t | x_{t,i})$ 分別是觀測在當前狀態下的真實概率和濾波器估計的概率分布。

第三步是重採樣，即根據重要性權重重新選擇粒子，以避免粒子退化和樣本漂移等問題。重採樣演算法有多種，其中一種常用的是「系統提取」（systematic resampling）演算法，具體包括以下步驟：

1. 計算所有粒子的累積權重 $W_t^* = \sum\limits_{i=1}^{N}w_{t,i}$
2. 用均勻分布的隨機數 $u_i$（$u_i \sim \text{Unif}(0,1)$）計算新的粒子索引 $j$：
1. $j=1$，$k+1=1$
2. for $i=1,2,…,N$:
1. while $u_i > W_t^* (k)$:
1. $k+1=k+1$
2. $j_i = k + 1$
3. 用新的粒子索引 $j$ 生成新的粒子序列。

二、Particlefiltering實現

下面我們來實現一個簡單的粒子濾波器，使用一維正態分布進行狀態預測，通過有雜訊的觀測來估計狀態。具體可以分為以下幾個步驟：

1. 初始化粒子

import numpy as np

N = 1000
particles = np.random.normal(0, 1, N)

2. 定義狀態預測函數

def predict(particles, v_t):
    return particles + np.random.normal(0, np.sqrt(v_t), N)

3. 定義重要性權重計算函數

def importance_weight(y, particles):
    return np.exp(-0.5*(y-particles)**2) / np.sqrt(2*np.pi*1)

4. 定義重採樣函數

def systematic_resample(weights):
    N = len(weights)
    indices = np.zeros(N, 'i')
    C = np.cumsum(weights)
    u0, j = np.random.rand(), 0
    for k in range(N):
        u = (k + u0) / N
        while u > C[j]:
            j += 1
        indices[k] = j
    return indices

5. 定義粒子濾波主函數

def particle_filter(N, y, predict, weights, resample):
    particles = np.random.normal(0, 1, N)
    for i, y_t in enumerate(y):
        particles = predict(particles, 1)
        weights *= importance_weight(y_t, particles)
        weights /= np.sum(weights)
        if resample(weights):
            particles = particles[systematic_resample(weights)]
            weights.fill(1.0 / N)
    return particles, weights

最後，我們可以使用上述函數來估計狀態值：

np.random.seed(0)
y = np.random.normal(0, 1, 50)
N = 1000
weights = np.ones(N, dtype=np.float) / N
particles, _ = particle_filter(N, y, predict, weights, lambda w: np.sum(w) < 0.5*N)

三、Particlefiltering half mask實現

此外，我們還可以使用更為高級的粒子濾波器演算法，例如卡爾曼濾波器的一種改進版本——PFHM（particle filter with half mask）。PFHM在粒子濾波器的基礎上，引入了半掩蔽（half mask）來提高濾波器的性能。

半掩蔽是一種基於距離的篩選方法，其基本思想是只保留與高質量狀態最接近的一部分粒子，從而減少雜訊對濾波器的影響，提高估計精度。實現方法如下：

1. 初始化粒子

N = 1000
particles = np.random.normal(0, 1, N)
halfmask = np.zeros(N, dtype=bool)

2. 定義狀態預測函數

def predict(particles, v_t):
    return particles + np.random.normal(0, np.sqrt(v_t), N)

3. 定義重要性權重計算函數

def importance_weight(y, particles):
    return np.exp(-0.5*(y-particles)**2) / np.sqrt(2*np.pi*1)

4. 定義半掩蔽函數

def half_mask(weights, r):
    halfmask = np.zeros_like(weights, dtype=bool)
    sorted_indices = np.argsort(weights)[::-1]
    for i in range(len(weights)):
        j = sorted_indices[i]
        if np.sum(halfmask) >= r:
            break
        if not halfmask[j]:
            halfmask[j] = True
    return halfmask

5. 定義粒子濾波主函數

def particle_filter_half_mask(N, y, predict, weights, resample, half_mask, r):
    particles = np.random.normal(0, 1, N)
    halfmask.fill(False)
    for i, y_t in enumerate(y):
        particles = predict(particles, 1)
        weights *= importance_weight(y_t, particles)
        weights /= np.sum(weights)
        halfmask = half_mask(weights, r)
        if resample(weights * halfmask):
            particles = particles[systematic_resample(weights * halfmask)]
            weights.fill(1.0 / N)
            halfmask.fill(False)
    return particles, weights

由於PFHM需要調整半掩蔽參數，因此在使用之前，我們需要先設置相應的參數：

np.random.seed(0)
y = np.random.normal(0, 1, 50)
N = 1000
weights = np.ones(N, dtype=np.float) / N
r = 10
particles, _ = particle_filter_half_mask(N, y, predict, weights, lambda w: np.sum(w) < 0.5*N, half_mask, r)

四、Particlefilterting的應用

粒子濾波器的應用非常廣泛，其中最為經典的就是目標跟蹤。在目標跟蹤中，粒子濾波器可以被用來處理複雜的動態場景，通過隨機粒子採樣的方法，實現目標對於周圍環境的自適應跟蹤。

例如，我們可以使用OpenCV庫的cv2.CamShift函數來實現基於粒子濾波器的目標跟蹤，並使用cv2.VideoCapture函數從電腦攝像頭中獲取視頻流。具體代碼如下：

import cv2

cap = cv2.VideoCapture(0)
ret, frame = cap.read()
x, y, w, h = cv2.selectROI(frame, False)
track_window = (x, y, w, h)
roi = frame[y:y+h, x:x+w]
hsv_roi = cv2.cvtColor(roi, cv2.COLOR_BGR2HSV)
mask = cv2.inRange(hsv_roi, np.array((0., 60., 32.)), np.array((180., 255., 255.)))
roi_hist = cv2.calcHist([hsv_roi], [0], mask, [180], [0,180])
cv2.normalize(roi_hist, roi_hist, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)
term_crit = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS|cv2.TERM_CRITERIA_COUNT, 10, 1)

while True:
    ret, frame = cap.read()
    if ret:
        hsv = cv2.cvtColor(frame, cv2.COLOR_BGR2HSV)
        dst = cv2.calcBackProject([hsv], [0], roi_hist, [0,180], 1)
        ret, track_window = cv2.CamShift(dst, track_window, term_crit)
        pts = cv2.boxPoints(ret)
        pts = np.int0(pts)
        img2 = cv2.polylines(frame, [pts], True, 255, 2)
        cv2.imshow('img2', img2)
        if cv2.waitKey(1) == 27:
            break
    else:
        break

cv2.destroyAllWindows()
cap.release()

在本例中，我們使用CamShift演算法來尋找目標，並使用cv2.boxPoints函數獲取目標位置的四個頂點，再通過cv2.polylines函數將其繪製出來。在捕獲到「Esc」鍵後，程序將自動結束運行。

總結

通過本文的介紹，我們對粒子濾波演算法有了更為深入的了解，從概念到實現，有效地提高了我們在目標跟蹤和狀態估計等領域的應用能力。當然，粒子濾波器還有很多需要深入研究和探討的地方，我們可以結合實際問題，不斷嘗試和改進，以提高演算法的性能和精度。