tanh函數的導數詳解

tanh（雙曲正切）函數是一個常見的激活函數，通常在深度學習中用於表達神經元的激活響應。本文將詳細闡述tanh函數的導數的相關知識，包括導數的定義、導數的圖像、導數的計算、導數的性質和代碼示例等。

一、導數的定義

在微積分中，導數是描述函數在某個點的變化率的概念。對於函數f(x)，如果這個函數在點x處是可導的，那麼函數在該點的導數就是f(x)關於x的導數，記作f'(x)。函數f(x)在點x處的導數，表示函數在x處的變化率（斜率）。

對於tanh函數，可以使用以下公式表示：

        f(x) = tanh(x)
      f'(x) = sech²(x) = 1 / cosh²(x)

其中，cosh(x)表示x的雙曲餘弦函數，sech(x)表示x的雙曲餘切函數。

二、導數的圖像

tanh函數的圖像如下：

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     -1             1

而tanh函數的導數的圖像如下：

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從圖像中可以看出，tanh函數的導數與tanh函數本身的圖像非常相似，但導數的變化更為迅速。

三、導數的計算

計算tanh函數的導數可以使用以下公式：

      f'(x) = sech²(x) = 1 / cosh²(x)

其中，cosh(x)表示x的雙曲餘弦函數。

sech(x)又可以表示為：

      sech(x) = 1 / cosh(x)

所以，tanh函數的導數也可以使用以下公式計算：

      f'(x) = 1 / cosh²(x) = 1 - tanh²(x)

四、導數的性質

tanh函數的導數具有以下性質：

• 導數在原點處的值為1
• 在x很大或很小時，導數的值接近於0
• 導數是一個奇函數，即f'(-x)=-f'(x)

五、代碼示例

以下是使用Python代碼計算tanh函數的導數的示例：

import numpy as np

def tanh(x):
    return np.tanh(x)

def sech_sq(x):
    return 1 / np.cosh(x) ** 2

def tanh_deriv(x):
    return sech_sq(x)

x = np.linspace(-5, 5, num=100)

y = tanh(x)
y_prime = tanh_deriv(x)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(x, y, label='tanh(x)')
ax.plot(x, y_prime, label='tanh\'(x)')

plt.legend()
plt.show()

運行後，可以得到如下的圖像：

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     -5            5

通過代碼示例，我們可以更好地理解tanh函數的導數，以及如何使用Python計算tanh函數的導數。