神經網路中的非線性

神經網路是一個被廣泛運用於圖像識別、語音識別、自然語言處理等領域的機器學習模型。然而，神經網路中原始的線性模型缺乏處理非線性關係的能力，這意味著不同特徵之間的混合效應無法被捕捉到。因此，在神經網路中引入非線性是至關重要的。

一、激活函數

激活函數是神經網路中引入非線性的最基礎的方法之一。前面我們提到，線性模型可以處理每個特徵的影響，但是無法捕捉特徵之間的協同關係。而激活函數不僅在單個神經元內引入了非線性，同時也使得不同神經元之間出現非線性交互。因此，如果沒有激活函數，神經網路將仍然是一個線性模型。

下面是一個使用Sigmoid作為激活函數的代碼示例：

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def sigmoid_derivative(x):
    return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

class NeuralNetwork:
    def __init__(self, num_inputs, hidden_layers_sizes, num_outputs):
        self.weights = []
        prev_layer_size = num_inputs
        for layer_size in hidden_layers_sizes:
            w = np.random.rand(prev_layer_size, layer_size)
            self.weights.append(w)
            prev_layer_size = layer_size
        w = np.random.rand(prev_layer_size, num_outputs)
        self.weights.append(w)

    def feedforward(self, inputs):
        a = inputs
        for w in self.weights:
            z = np.dot(a, w)
            a = sigmoid(z)
        return a

inputs = np.array([1, 2, 3])
network = NeuralNetwork(3, [4, 5], 2)
output = network.feedforward(inputs)
print(output)

其中，新建了一個NeuralNetwork類，用於描述具有三個輸入，兩個輸出的多層感知機模型，並且hidden_layers_sizes參數表示隱藏層有4個神經元和5個神經元，使用sigmoid函數作為激活函數。

二、卷積神經網路

卷積神經網路（Convolutional Neural Network，CNN）是一種使用卷積方式進行特徵提取的神經網路。卷積操作可以看成是一種局部的操作，在一定程度上採集的只是特徵的一部分信息，因此在網路中引入了非線性。此外，池化操作等也可以看成是一種非線性變換，通過降維和篩選等操作強化了特徵的表達力。

下面是一個簡單的卷積神經網路的代碼實現（這裡使用MNIST數據集）：

from keras.datasets import mnist
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Conv2D, MaxPooling2D, Flatten, Dense
from keras.utils import np_utils

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()
x_train = x_train.reshape(x_train.shape[0], 28, 28, 1) / 255.0
x_test = x_test.reshape(x_test.shape[0], 28, 28, 1) / 255.0
y_train = np_utils.to_categorical(y_train, 10)
y_test = np_utils.to_categorical(y_test, 10)

model = Sequential()
model.add(Conv2D(32, (3, 3), activation='relu', input_shape=(28, 28, 1)))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Conv2D(64, (3, 3), activation='relu'))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Flatten())
model.add(Dense(128, activation='relu'))
model.add(Dense(10, activation='softmax'))
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])
model.fit(x_train, y_train, batch_size=32, epochs=10, verbose=1, validation_data=(x_test, y_test))

在此代碼片段中，使用Keras工具包和MNIST數據集搭建了一個簡單的卷積神經網路，並且使用relu函數作為激活函數。網路結構包括兩層卷積、兩層池化和兩層全連接。

三、遞歸神經網路

遞歸神經網路（Recurrent Neural Network，RNN）是一種能夠利用序列信息的神經網路。由於它們的結構中包含一個或多個循環層，所以可以捕獲時間序列中的非線性關係，從而引入了非線性。在許多自然語言處理任務中，包括語音識別和文本生成等，遞歸神經網路是非常流行的選擇。

下面是一個簡單的用於文本生成的遞歸神經網路的代碼實現（這裡使用Shakespeare數據集）：

import numpy as np
from keras.layers import Dense, Activation, LSTM
from keras.models import Sequential
from keras.optimizers import RMSprop
from keras.utils.data_utils import get_file

path = get_file('shakespeare.txt', origin='https://storage.googleapis.com/download.tensorflow.org/data/shakespeare.txt')
text = open(path).read().lower()
print('corpus length:', len(text))

chars = sorted(list(set(text)))
print('total chars:', len(chars))
char_indices = dict((c, i) for i, c in enumerate(chars))
indices_char = dict((i, c) for i, c in enumerate(chars))

maxlen = 40
step = 3
sentences = []
next_chars = []
for i in range(0, len(text) - maxlen, step):
    sentences.append(text[i: i + maxlen])
    next_chars.append(text[i + maxlen])
print('nb sequences:', len(sentences))

x = np.zeros((len(sentences), maxlen, len(chars)), dtype=np.bool)
y = np.zeros((len(sentences), len(chars)), dtype=np.bool)
for i, sentence in enumerate(sentences):
    for t, char in enumerate(sentence):
        x[i, t, char_indices[char]] = 1
    y[i, char_indices[next_chars[i]]] = 1

model = Sequential()
model.add(LSTM(128, input_shape=(maxlen, len(chars))))
model.add(Dense(len(chars)))
model.add(Activation('softmax'))

optimizer = RMSprop(lr=0.01)
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer=optimizer)

model.fit(x, y, batch_size=128, epochs=10)

該代碼片段中，使用Keras搭建了一個只含有一個LSTM循環層的遞歸神經網路。該網路用於在莎士比亞文本數據集上進行訓練，從而生成新的莎士比亞式的文本。

四、總結

在神經網路中引入非線性是非常重要的，它能夠幫助我們在許多任務中獲得更好的表現。本文中，我們介紹了三種引入非線性的方法：使用激活函數、卷積神經網路和遞歸神經網路。但是，這只是一個開始。未來如何引入更多的非線性將成為一個非常有趣的問題。