Givens變換的全面解析

一、Givens變換的定義

Givens變換，又叫高斯旋轉變換，是一種由正交矩陣構成的矩陣集合，用於在矩陣計算中實現向量的旋轉和線性變換。Givens變換可以將一個$n$維向量$x$從第$i$維和第$j$維之間進行旋轉變換，使得$\underline{e}_i$變為$\underline{v}$，$\underline{e}_j$變為$\underline{w}$，其中$\underline{e}_i,\underline{e}_j$是$n$維標準正交基向量。

相較於其他變換，Givens變換具有計算簡便、精度高等優點，並在很多領域中被廣泛使用，如矩陣分解，最小二乘、信號處理、圖形處理等領域。

二、Givens變換的構造方法

Givens變換的構造方法主要有兩種：直接構造法和反迭代構造法。下面分別對兩種構造方法進行說明。

1. 直接構造法

直接構造法是一種通過旋轉矩陣來實現Givens變換矩陣的構造方法。假設$\theta$是旋轉角度，我們可以構造一個旋轉矩陣$G(\theta)$，使得矩陣$x$繞著向量$(\cos\theta,\sin\theta)^T$旋轉，進而構造出Givens變換矩陣$G_{ij}$，它旋轉的角度$\theta$和旋轉軸的位置由輸入的參數$i,j$決定。

具體實現代碼如下：

def givens_rotation(c, s):
    """
    構造一個二維的Givens旋轉矩陣
    :param c: 餘弦值cos(theta)
    :param s: 正弦值sin(theta)
    :return: 二維的Givens旋轉矩陣
    """
    return np.array([[c, s], [-s, c]])

def givens_matrix(n, i, j, theta):
    """
    構造Givens變換矩陣
    :param n: 矩陣的維度
    :param i: 旋轉軸的位置
    :param j: 旋轉軸的位置
    :param theta: 旋轉角度
    :return: Givens變換矩陣
    """
    c = np.cos(theta)
    s = np.sin(theta)
    g = givens_rotation(c, s)
    # 將旋轉矩陣擴充為n維，其中i,j位置上為二維矩陣的元素
    mat = np.eye(n)
    mat[[i,j], [i,j]] = g
    return mat

2. 反迭代構造法

反迭代構造法是一種通過迭代自逆矩陣來實現Givens變換矩陣的構造方法。通過給定一個初始$n*n$方陣$A$，我們可以通過Givens變換將$A$轉化為一個上三角矩陣，再通過迭代方法將上三角矩陣逆轉為原始矩陣的逆矩陣。基於這種思想，我們可以構造一個反迭代的演算法來生成Givens變換矩陣。

具體實現代碼如下：

def givens_reduce(a):
    """
    使用Givens變換將矩陣a轉化為上三角矩陣
    :param a: 要轉化的方陣
    :return: 上三角矩陣
    """
    m,n = a.shape
    givens_list = []
    # 構造上三角矩陣
    for j in range(n):
        for i in range(j + 1, m):
            if a[i,j] != 0:
                # 構造Givens變換矩陣
                c = a[j,j] / np.sqrt(a[j,j]**2 + a[i,j]**2)
                s = a[i,j] / np.sqrt(a[j,j]**2 + a[i,j]**2)
                mat = givens_matrix(n, j, i, -s)
                a = mat @ a
                givens_list.append(mat.T)
    return a, givens_list
                
def givens_inverse(a, givens_list):
    """
    使用反迭代方法將上三角矩陣逆轉為原始矩陣的逆矩陣
    :param a: 上三角矩陣
    :param givens_list: Givens變換矩陣列表
    :return: 原始矩陣的逆矩陣
    """
    n = a.shape[0]
    a_inv = np.eye(n)
    for mat in reversed(givens_list):
        a_inv = mat @ a_inv
    return a_inv

三、Givens變換的應用

1. QR分解

QR分解是一種矩陣分解的方法，通過將一個矩陣分解為正交矩陣和上三角矩陣的乘積形式，實現對矩陣運算的簡化。Givens變換作為QR分解的一種重要方法，可以通過一系列的Givens旋轉將需要分解的矩陣轉化為一個上三角矩陣，從而實現QR分解。

具體實現代碼如下：

def qr_decomposition(a):
    """
    對矩陣a進行QR分解，得到正交矩陣q和上三角矩陣r
    :param a: 待分解的矩陣
    :return: 正交矩陣q，上三角矩陣r
    """
    m, n = a.shape
    r, givens_list = givens_reduce(a)
    q = givens_inverse(r, givens_list)
    q = q.T
    return q, r

2. 最小二乘

最小二乘是一種常用的線性回歸方法，用於求解數據集中的最優擬合直線。在矩陣計算中，我們可以通過QR分解解決最小二乘問題。

具體實現代碼如下：

def least_squares(x, y):
    """
    使用QR分解法對最小二乘問題進行求解
    :param x: 自變數
    :param y: 因變數
    :return: 最優擬合直線的係數
    """
    m = x.shape[0]
    x = np.hstack((np.ones((m, 1)), x))
    q, r = qr_decomposition(x)
    q1 = q[:, :x.shape[1]]
    r1 = r[:x.shape[1], :x.shape[1]]
    p = q1.T @ y
    pt = p[:x.shape[1]]
    return np.linalg.solve(r1, pt)

四、總結

本文詳細介紹了Givens變換的概念、構造方法和應用，並給出了相應的python代碼實現。Givens變換作為矩陣計算中的常用變換方法，在現代科學和工程中廣泛應用，具有重要的理論和實踐價值。在今後的學習和實踐中，我們應該深入理解Givens變換的原理和應用，靈活運用相關知識，不斷擴展自己的知識庫，提高自己的能力和競爭力。