四邊形不等式

四邊形不等式是學習數學不等式的一大重點，它是最基本的數學不等式之一，也是中學奧數中經常出現的重要知識點。在數學、物理等領域都有一定的應用。

一、四邊形不等式證明

四邊形不等式的證明可以從三角形不等式開始，如下所示：

    a + b > c （三角形不等式）
    a + c > b
    b + c > a

將第一式與第二式相加，得：

    2a + b + c > a + b + c > max(a,b,c)

同理，將第一式與第三式相加，得：

    2b + a + c > a + b + c > max(a,b,c)

最後將第二式與第三式相加，得：

    2c + a + b > a + b + c > max(a,b,c)

綜上可得：

    a + b + c > max(a,b,c)

進而推廣到四邊形：

    AB + BC + CD > AC 且 AC + CD + DA > AD
    兩式相加，得 AB + BC + CD + DA > AC + AD

二、四邊形邊長關係不等式

對於任意四邊形ABCD，它的四條邊之間有以下的關係不等式：

    AB + BC ≥ AC
    AB + AD ≥ BD
    CD + AD ≥ AC
    CD + BC ≥ BD

三、四邊形不等式隊列

我們可以利用隊列來解決四邊形不等式的問題，通過維護一個單調不降的隊列，實現對取最大值的優化。

代碼示例：

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        while(!q.empty() && a[q.back()] <= a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(i);
        while(q.size() && q.front() = k) ans = max(ans, a[q.front()]);
    }

四、四邊形不等式dp

四邊形不等式也經常被用來優化動態規劃問題。

代碼示例：

    for(int i = 1; i = 0 && i - j <= k; j--) {
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i] + a[j]);
        }
    }

五、四邊形不等式優化

四邊形不等式在實際問題中有很多的優化應用。

例如在計算幾何中，當需要求解各個點之間的距離，可以使用四邊形不等式來減少計算量。

代碼示例：

    // 求點間距離
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
            dist[i][j] = dist[j][i] = sqrt((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]));
        }
    }
    // 利用四邊形不等式優化求和
    for(int k = 1; k <= n; k++) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
                dist[i][j] = dist[j][i] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
            }
        }
    }

六、四邊形不等式是什麼

四邊形不等式是指四邊形的四條邊之和大於或等於對角線的長度。

七、不等式計算四邊形的例題

例如，給出四邊形所有邊長度，如何判斷它是不是一個凸四邊形？

解題思路：

如果四邊形的四條邊長度分別為a,b,c,d，依據四邊形的定義，若它是凸四邊形，則可得兩個不等式：

    1. a+b>c+d
    2. a+d>b+c

如果不符合其中任意一個式子，即可說明它不是凸四邊形。

代碼示例：

    if(a+b <= c+d || a+d <= b+c) cout << "不是凸四邊形" << endl;
    else cout << "是凸四邊形" << endl;

八、四邊形的一個不等式

通過四邊形不等式，可以得到以下不等式：

    (a+b+c+d)^2 ≥ 4(ac+bd) （柯西不等式）

可以應用於求多個向量點積的最大值等問題。

九、平行四邊形不等式

平行四邊形不等式是指對於任意兩個向量u,v，都存在以下不等式關係：

    |u+v| ≤ |u| + |v|
    |u-v| ≤ |u| + |v|
    |u| ≤ |u+v| + |v|
    |v| ≤ |u+v| + |u|

代碼示例：

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            int d1 = abs(x[i] - x[j]);
            int d2 = abs(y[i] - y[j]);
            int d3 = abs(z[i] - z[j]);
            int len = max(max(d1, d2), d3);
            int ans1 = d1 + d2 + d3;
            int ans2 = 2 * len;
            if(ans1 < ans2) {
                cout << "No" << endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    cout << "Yes" << endl;

十、四邊形四條邊相等一定是正方形嗎

不一定。若四邊形的兩個對角線相等，則它是一個菱形；若且僅若它是菱形並且內角度數為直角，則它是一個正方形。