數值分析知識點總結

一、求解非線性方程

1、二分法

二分法又稱為折半法，是最簡單、最易於理解的一種迭代方法。它的基本思路就是根據函數值定位目標區間，然後縮小區間範圍，直到滿足精度要求或者次數達到了迭代次數上限。下面是二分法求解非線性方程的Python代碼示例：

def f(x):
    return x ** 2 - 2

def bisection(a, b, eps, N):
    i = 0
    while i < N:
        c = (a + b) / 2
        if abs(f(c)) < eps:
            return c
        if f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
        i += 1
    return None

print(bisection(1, 2, 1e-6, 100))

2、牛頓法

牛頓法是求解非線性方程最常用的方法之一，優點是收斂速度快，但是它的缺點是需要計算函數的導數，在一些情況下可能比較麻煩。下面是牛頓法求解非線性方程的Python代碼示例：

def f(x):
    return x ** 2 - 2

def df(x):
    return 2 * x

def newton(a, eps, N):
    i = 0
    x = a
    while i < N:
        x = x - f(x) / df(x)
        if abs(f(x)) < eps:
            return x
        i += 1
    return None

print(newton(1.5, 1e-6, 100))

二、插值與擬合

1、拉格朗日插值

拉格朗日插值是一種常用的插值方法，它的基本思路是通過已知點的函數值來構造一個多項式函數，從而求解未知點的函數值。下面是使用拉格朗日插值求解函數在給定點的函數值的Python代碼示例：

import numpy as np

def lagrange(x, y, xx):
    n = len(x)
    yy = 0
    for i in range(n):
        l = 1
        for j in range(n):
            if i != j:
                l *= (xx - x[j]) / (x[i] - x[j])
        yy += l * y[i]
    return yy

x = np.array([0, 1, 2])
y = np.array([1, 2, 1])
print(lagrange(x, y, 0.5))

2、最小二乘擬合

最小二乘擬合是通過最小化誤差平方和來尋找最佳的擬合曲線，它可以用於線性擬合和非線性擬合。下面是使用最小二乘擬合方法對一組數據進行線性擬合的Python代碼示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([1.2, 1.9, 3.2, 4.1])

A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T
a, b = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]

plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
plt.plot(x, a * x + b, 'r', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

三、數值微分與數值積分

1、三點公式

三點公式是一種常用的數值微分方法，它的基本思路是利用已知點周圍的函數值，通過求導公式計算出目標點的導數值。下面是使用三點公式對給定函數在給定點計算導數值的Python代碼示例：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(x)

def df(x, h):
    return (f(x+h)-f(x-h)) / (2*h)

print(df(0, 1e-6))

2、梯形法

梯形法是一種常用的數值積分方法，它的基本思路是將函數圖像下面的區域拆分成多個梯形形狀，然後通過計算每個梯形的面積來估計積分值。下面是使用梯形法計算給定函數在給定區間內的定積分值的Python代碼示例：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x ** 2)

def trapezoidal(a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n+1)
    y = f(x)
    I = h * (np.sum(y) - 0.5 * (y[0] + y[-1]))
    return I

print(trapezoidal(0, 1, 10000))

四、常微分方程數值解

1、龍格-庫塔法

龍格-庫塔法是一種常用的數值解常微分方程方法，它的基本思路是通過多次迭代，逐步逼近每一個離散時間點上的解。下面是使用龍格-庫塔法求解一階常微分方程的Python代碼示例：

import numpy as np

def f(t, y):
    return -y

def RK11(f, t0, y0, h, N):
    t = np.zeros(N+1)
    y = np.zeros(N+1)
    t[0], y[0] = t0, y0
    for i in range(N):
        k1 = f(t[i], y[i])
        k2 = f(t[i] + h, y[i] + h*k1)
        y[i+1] = y[i] + h * (k1 + k2) / 2
        t[i+1] = t0 + (i+1) * h
    return t, y

t, y = RK11(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(y)

2、歐拉法

歐拉法是一種簡單的數值解常微分方程方法，它的基本思路是通過泰勒級數展開對微分方程進行逼近，從而求解未來的函數值。下面是使用歐拉法求解一階常微分方程的Python代碼示例：

import numpy as np

def f(t, y):
    return -y

def euler(f, t0, y0, h, N):
    t = np.zeros(N+1)
    y = np.zeros(N+1)
    t[0], y[0] = t0, y0
    for i in range(N):
        y[i+1] = y[i] + h * f(t[i], y[i])
        t[i+1] = t0 + (i+1) * h
    return t, y

t, y = euler(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(y)