Greedy演算法的探究

在計算機科學中，貪心演算法（Greedy Algorithm）也叫貪婪演算法，是指在對問題求解時，總是做出在當前看來最好的選擇，不追求最優解，快速高效完成問題求解。在有些情況下，貪心演算法能得到全局最優解或者是局部最優解。

一、演算法基礎

貪心演算法是一種基於貪心思想的演算法策略，在每個階段選擇最優解，從而達到全局最優解的策略。貪心演算法是一種較為簡單的演算法設計策略，具有易於理解、簡單、易於證明其正確性等優點。貪心演算法與動態規劃演算法、回溯演算法等常用演算法比較類似。

具體地說，應用貪心演算法的問題分為以下幾步：

1. 定義最優解的結構，並遞歸地定義其最優性。

2. 構造一個包含所求問題的所有可行解的集合。

3. 證明這個集合為空，或者這個集合只是某些最優解的子集而非最優解集合。

4. 設計一個演算法，在可行解集合中選擇和最優解有關的解，並遞歸地構造最優解。

5. 證明演算法構造的最優解是最優解。

二、應用場景

貪心演算法通常適用於滿足貪心選擇屬性的問題，並且貪心選擇屬性能夠推導出全局最優解的問題，例如最小生成樹、最短路徑問題等。在一些特殊情況下，貪心演算法也能得到全局最優解，例如哈夫曼編碼等。

三、代碼實現

貪心演算法在Prim最小生成樹問題中的應用

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair pii;

const int MAXN = 1e5 + 10;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, m, s;
ll dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
vector g[MAXN];

void prim(int s)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    priority_queue<pii, vector, greater> q;
    q.push({ 0, s });
    ll ans = 0;
    while (!q.empty())
    {
        pii t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        vis[u] = true;
        if (dis[u] != t.first)
            continue;
        ans += dis[u];
        for (auto& e : g[u])
        {
            int v = e.first, w = e.second;
            if (!vis[v] && w < dis[v])
            {
                dis[v] = w;
                q.push({ dis[v], v });
            }
        }
    }
    cout << ans <> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i > u >> v >> w;
        g[u].emplace_back(v, w);
        g[v].emplace_back(u, w);
    }
    prim(s);
    return 0;
}

貪心演算法在Dijkstra最短路徑問題中的應用

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair pli;

const int MAXN = 1e5 + 10;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n, m, s;
ll dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
vector g[MAXN];

void dijkstra(int s)
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    priority_queue<pli, vector, greater> q;
    q.push({ 0, s });
    while (!q.empty())
    {
        pli t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        vis[u] = true;
        if (dis[u] != t.first)
            continue;
        for (auto& e : g[u])
        {
            int v = e.second;
            ll w = e.first;
            if (!vis[v] && dis[u] + w < dis[v])
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push({ dis[v], v });
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << dis[i] << " ";
    cout <> n >> m >> s;
    for (int i = 0; i > u >> v >> w;
        g[u].emplace_back(w, v);
    }
    dijkstra(s);
    return 0;
}

四、結語

貪心演算法作為一種基本的演算法策略，具有易於理解、易於實現和快速高效的特點，在實際的演算法設計和問題求解中都有廣泛的應用。但是，貪心演算法存在一些問題，例如貪心選擇並不總能推導出全局最優解等。

綜上所述，貪心演算法在實際應用中需要結合具體問題，進行適當的分析和考慮，並利用必要的技巧和策略才能夠更好地解決問題。通過不斷地學習和實踐，才能不斷提升自己的演算法設計和問題求解能力。