完美二叉樹

一、基本概念

完美二叉樹（Perfect Binary Tree）是指所有非葉子節點都有兩個子節點，且所有葉子節點都在同一層級上的二叉樹結構。在這種情況下，對於深度為k的完美二叉樹，它的葉子節點個數等於2的k次方。

完美二叉樹通常用於數據存儲，尤其在計算機領域中，它的應用相當廣泛。其優點有：可以高效地進行訪問、查詢和插入操作；具有較好的平衡性，即樹的深度較小；並且適用於對數據進行排序和搜索。

舉一個簡單的例子，一個深度為3的完美二叉樹如下圖所示：

     A           Depth=0
   /   \
  B     C        Depth=1
 / \   / \
D   E F   G      Depth=2

二、性質

完美二叉樹具有以下重要的性質：

1. 對於深度為k的完美二叉樹，它的總結點數為2的(k+1)次方減1。這可以通過數學歸納法證明。當k=1時，總結點數為2的二次方減1=3, 成立。當k=m時，總結點數為2的(m+1)次方減1，成立。當k=m+1時，總結點數為2的(m+2)次方減1，同樣成立。因此，該性質成立。

2. 對於深度為k的完美二叉樹，它的葉子節點為2的k次方個。因為所有的葉子節點都在同一層級上，且每個節點都有兩個子節點，所以對於深度為k-1的完美二叉樹，它的葉子節點為2的(k-1)次方個。而完美二叉樹中葉子節點數為深度為k-1的完美二叉樹葉子節點數的兩倍，即為2的k次方個。

三、代碼實現

Python代碼如下所示，用Node表示節點，用CompleteBinaryTree表示完美二叉樹，實現了插入節點、層序遍歷和獲取深度等方法。

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None
 
class CompleteBinaryTree:
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root
 
    def insert(self, value):
        new_node = Node(value)
        if not self.root:
            self.root = new_node
            return
        nodes = [self.root]
        while True:
            tmp_node = nodes.pop(0)
            if not tmp_node.left:
                tmp_node.left = new_node
                return
            elif not tmp_node.right:
                tmp_node.right = new_node
                return
            else:
                nodes.append(tmp_node.left)
                nodes.append(tmp_node.right)
 
    def level_order(self):
        nodes = [self.root]
        res = []
        while nodes:
            tmp_node = nodes.pop(0)
            if not tmp_node:
                res.append(None)
                continue
            res.append(tmp_node.value)
            nodes.append(tmp_node.left)
            nodes.append(tmp_node.right)
        return res
 
    def depth(self, node):
        if not node:
            return 0
        return max(self.depth(node.left), self.depth(node.right)) + 1

四、結語

完美二叉樹是二叉樹中的一種特殊結構，它的明顯特點是所有非葉子節點都有兩個子節點，且所有葉子節點都在同一層級上。完美二叉樹的優點是可以高效地進行訪問、查詢和插入操作，具有較好的平衡性，適用於對數據進行排序和搜索。在實際開發中，了解完美二叉樹的概念和性質，掌握代碼實現方法，有助於擴展和優化數據結構相關的應用。