Lowess的全面解析

一、什麼是Lowess?

Locally Weighted Scatterplot Smoothing（局部加權散點圖平滑），簡稱LOWESS，是一種非參數回歸技術，主要用於確定在一個二元數據的散點圖上（兩個變數的數據分布圖）的一個光滑的（或非粗糙的）的函數。相比於傳統的線性回歸，Lowess更適合對雜訊數據進行擬合。 在介紹Lowess的原理之前，我們先了解幾個概念。

二、幾個重要概念

1.離差平方和（SSE）：是指每個數據點到擬合直線的距離距離的平方之和。

2.帶寬h：帶寬即決定擬合直線上的點數，也可以理解成控制了擬合的光滑程度。

3.權重函數W：Lowess的特色在於採用了非線性的權重函數。在原點距離超過帶寬h的點權重會被賦值為0，兩點之間距離越近，權重越大。

三、Lowess原理

在Lowess中，我們以兩個變數x和y畫出散點圖，用一條平滑曲線來描述變數之間的關係。這條曲線不是一次函數，也不是二次函數，而是由所有點組成的局部函數。

在計算曲線的每一個點處的函數值時，我們通過以下步驟：

1. 將當前點加入到窗口（窗口大小由帶寬h設定）。

2. 在窗口內根據權重函數計算出每個數據點的權重（距離當前點越近的數據點權重越大）。

3. 根據權重計算出權重均值，並用它來對當前點進行平滑化。

4. 將當前點向右或向下移動一格，重複步驟1-3，直到計算完成。

from statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess import lowess

# 生成隨機數據
import numpy as np
np.random.seed(42)
x = np.linspace(-5, 5, 20)
y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.5, len(x))

# 用lowess函數來擬合數據
z = lowess(y, x, frac=1./3, return_sorted=False)

四、Lowess應用場景

由於Lowess適用於非線性數據集，主要可以應用於以下幾個方面：

1.在圖形中平滑曲線。Lowess可用於對數據進行平滑處理，並繪製曲線以顯示數據的趨勢。

2.在趨勢分析中。與其他非參數估計方法一樣，Lowess對於確定數據的趨勢是非常有用的。

3.在回歸分析中。它可以使用x的值來預測y的值，這是回歸分析的一種非參數方法。

五、優缺點

Lowess作為一種比較新的演算法，具有以下優點：

1.可以更好地處理非線性數據集和雜訊數據集。

2.可以適用於所有連續變數的數據集，不需要假設線性模型。

3.適用於小型數據集和高維數據集，但比其他非參數估計方法所需的計算量稍大。

但是，Lowess也有缺點，主要表現為：

1.可能不適用於大型數據集，對於大量的數據集計算時間更長。

2.需要進行嘗試調整帶寬h和閾值等參數。

六、總結

Lowess是一種非參數回歸技術，旨在消除數據集中的雜訊並擬合非線性數據集。它運用非線性的權重函數進行平滑處理，可以更好地凸顯數據集的趨勢。它適用於小型數據集和高維數據集，在實際應用中有較高的實用性，但需要注意在調整帶寬和閾值時進行適當的優化。