累積分布函數(cumulative distribution function)

一、介紹

累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)是一個統計學和概率論中使用的函數。它描述了一個隨機變數取小於等於某個值的概率。

可以簡單地理解為，在給定的概率密度函數下，衡量一個數值在小於零到大於這個數的時候所佔有的面積（即概率）。累積分布函數在統計學、金融、工程學、物理學和計算機科學中都有廣泛的應用。

在概率論與數理統計中，若隨機變數X的概率密度函數為f(x)，則其累積分布函數為：

F(x) = P(X<=x) = ∫f(x)dx (從負無窮到x)

二、特點

累積分布函數具有以下特點：

• 隨著x的增大，F(x)單調不減
• F(x)的極值為0和1
• 累積分布函數是一個分段函數，每段的斜率基於概率密度函數f(x)
• 若隨機變數X服從一定分布，那麼其對應的累積分布函數是唯一的。

三、應用

1、概率計算

累積分布函數可以用來計算概率，例如在一個正態分布中，有多大的概率會出現某個值。例如，我們在知道一個班級分數的平均分和標準差的情況下，可以得到某個學生分數的Z值，從而利用標準正態分布的累積分布函數來計算出其得到某個分數的概率。

# Python代碼示例
import scipy.stats as stats
mean = 60
std = 10
z_score = (85 - mean) / std
stats.norm.cdf(z_score) # 返回結果0.977249870306

2、估算損失

在風險管理中，累積分布函數也可以用於估算可能的損失。例如，如果我們知道投資組合的期望回報和期望風險，我們可以使用投資組合累積分布函數來估算投資組合在潛在情況下盈利與虧損的概率。

# Python代碼示例
import numpy as np
import scipy.stats as stats
n = 100
returns = np.random.normal(loc=0, scale=0.05, size=n)
var_95 = np.percentile(returns, 5)
cdf = stats.percentileofscore(returns, var_95)

3、生態學

在生態學研究中，累積分布函數也有用。例如，它可以用來描述物種在一個生態系統中的穩定性和進化的速度。

對於上圖中的生態學的例子，我們有mnrx，其中，m代表遷移率，n代表出生率，r代表固定率，x代表死亡率，可以使用下面的累積分布函數代碼來計算概率:

# Python代碼示例
import scipy.stats as stats
x = 10
m = 0.4
n = 0.25
r = 0.1
prob =  stats.gamma.cdf(x, a=n/m, scale=1/r)

四、總結

累積分布函數允許我們計算一個變數小於等於某個特定值的概率。它可以用於很多情況，如金融、工程學、物理學和計算機科學等領域。此外，累積分布函數還能夠用於計算概率、估算損失以及在生態學研究中描述物種在生態系統中的穩定性和進化的速度。精通累積分布函數的使用將幫助我們更好地理解統計學和概率論中的概念。