用JavaScript實現高效下三角矩陣計算

在數學領域，矩陣是一個非常重要的概念。尤其在機器學習、深度學習等領域，矩陣的運算幾乎是每個演算法都需要涉及到的基本操作。

在矩陣運算中，下三角矩陣也是常見的一種類型。這篇文章將從多個方面介紹如何用JavaScript實現高效的下三角矩陣計算。

一、介紹下三角矩陣

下三角矩陣是指矩陣中下三角區域的所有元素為非零元素，而上三角區域的所有元素為零。下三角矩陣與上三角矩陣類似，只是對角線以下的元素不為零的位置交換了。

下面是一個3×3的下三角矩陣的例子：

 1  0  0
 2  3  0
 4  5  6

從下往上，從左往右依次列出所有非零元素，即為矩陣的下三角。

二、用JavaScript表示下三角矩陣

在JavaScript中，可以通過二維數組表示矩陣。對於下三角矩陣，我們可以只保存下三角區域的元素，而對角線以上的元素可以默認為零。比如，對於上面的3×3矩陣，我們可以用如下的數組表示：

[
  [1, 0, 0],
  [2, 3, 0],
  [4, 5, 6]
]

三、計算下三角矩陣的行列式

計算下三角矩陣的行列式可以用遞歸法求解。遞歸的基本情況是對於1×1的下三角矩陣，其行列式就是該元素的值。對於大於1×1的下三角矩陣，可以通過選取一行或一列展開計算其行列式。

下面是用JavaScript實現計算下三角矩陣行列式的函數：

function det(matrix) {
  if (matrix.length === 1) {
    return matrix[0][0]
  }
  
  let result = 0
  for (let i = 0; i  row.slice(0, i))
    result += (-1) ** i * matrix[0][i] * det(subMatrix)
  }
  return result
}

該函數首先判斷矩陣是否為1×1，如果是，則直接返回該元素的值。否則，遍歷該矩陣的一行或一列，選取該元素，計算選取該元素後的子矩陣的行列式，再乘以該元素的係數(-1的冪次方)，最後將所有結果相加即可。

四、計算下三角矩陣的逆矩陣

計算下三角矩陣的逆矩陣可以使用高斯-約旦消元法。具體步驟如下：

1. 將下三角矩陣和單位矩陣拼接在一起，形成一個大矩陣。

2. 對於列向量中的每一個非零元素，通過除以該元素消去該列其他行中的同一位置元素，使該列除該元素外所有元素變為零。

3. 重複第2步，對於每一列都要進行相同的操作。

4. 處理完所有列後，大矩陣的左半部分就會變成單位矩陣，右半部分就是下三角矩陣的逆矩陣。

下面是用JavaScript實現計算下三角矩陣逆矩陣的函數：

function inverse(matrix) {
  const n = matrix.length
  const augMatrix = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    augMatrix.push(matrix[i].concat(new Array(n - i - 1).fill(0)).concat([i === n - 1 ? 1 : 0]))
  }
  
  for (let j = 0; j < n; j++) {
    for (let i = j + 1; i < n; i++) {
      const ratio = augMatrix[i][j] / augMatrix[j][j]
      for (let k = j; k = 0; j--) {
    for (let i = j - 1; i >= 0; i--) {
      const ratio = augMatrix[i][j] / augMatrix[j][j]
      for (let k = n * 2 - j - 2; k >= j; k--) {
        augMatrix[i][k] -= ratio * augMatrix[j][k]
      }
    }
  }
  
  const invMatrix = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    invMatrix.push(augMatrix[i].slice(n))
  }
  return invMatrix
}

該函數首先構造大矩陣，然後使用高斯-約旦消元法對其進行變換，最後提取逆矩陣。具體實現思路可見函數中的注釋。

五、計算下三角矩陣的乘法

下三角矩陣的乘法與一般矩陣乘法類似，只是乘法後的結果只需要保留下三角部分。具體實現可以直接套用矩陣乘法的模板，只是在計算結果矩陣的每個元素時，只保留下三角區域的元素即可。

下面是用JavaScript實現計算下三角矩陣乘法的函數：

function multiply(matrix1, matrix2) {
  const result = []
  for (let i = 0; i < matrix1.length; i++) {
    const row = []
    for (let j = 0; j < matrix2[0].length; j++) {
      let sum = 0
      for (let k = 0; k <= i && k < matrix2.length; k++) {
        sum += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
      }
      row.push(sum)
    }
    result.push(row)
  }
  
  for (let i = 0; i < result.length; i++) {
    for (let j = i + 1; j < result[i].length; j++) {
      result[i][j] = 0
    }
  }
  
  return result
}

該函數首先計算矩陣乘法得到一個一般化的結果矩陣，然後將結果矩陣的上三角部分置為零即可得到下三角矩陣的乘法結果。

總結

本文介紹了如何用JavaScript實現高效的下三角矩陣計算。從表示、行列式、逆矩陣、乘法等方面進行了詳細的講解，並給出了對應的代碼示例。對於學習機器學習、深度學習等領域的同學來說，這些知識是非常必要的，也是基礎的一部分。