Data Envelopment Analysis（數據包絡分析）介紹

一、何為Data Envelopment Analysis（數據包絡分析）

Data Envelopment Analysis（數據包絡分析）是一種非參數評估方法。它是通過比較同一類目標的效率來進行數據的評估。Data Envelopment Analysis入門資料中通常採用線性規劃來解決問題。

二、Data Envelopment Analysis的基本概念

Data Envelopment Analysis 根據線性規劃思想，採用「包絡面」的概念進行分析。即定義一個「包絡面」，將數據點依據各項指標投射到這個「包絡面」上，通過計算這些點在「包絡面」上的投影面積，來確定各點之間的「相對效率」。評估對象要具有可比性，否則不能進行分析。

三、Data Envelopment Analysis的應用領域

Data Envelopment Analysis的應用領域非常廣泛：

1、銀行業：對銀行各部門的效率進行評估；
2、教育領域：對教育部門的效率進行評估；
3、衛生保健：對衛生保健系統或醫療機構等的效率進行評估；
4、城市規劃：對城市規劃、可持續發展等問題進行研究；
5、環境保護：對環境保護局、公司等的管理效率進行評估。

四、Data Envelopment Analysis 的計算過程

Step 1

確定評估指標及其單位，收集數據

import pandas as pd

data=pd.read_csv('data.csv',index_col='id')
data.head()

Step 2

確定評估對象，根據指標數據，建立評價模型，確定數據可行性。

import numpy as np

from pyomo.environ import *

model=ConcreteModel()

n,m=data.shape
model.J=Set(initialize=range(n))
model.I=Set(initialize=range(m))

model.a=Param(model.J,model.I,initialize=data.values)

model.x=Var(model.I)
model.y=Var(model.J)

model.obj=Objective(expr=model.y[m-1],sense=maximize)

def ax_constraint(model,j):
    return sum(model.a[j,i]*model.x[i] for i in model.I )=0 

model.const2=Constraint(model.I,rule=ay_constraint)

def sumy_constraint(model):
    return sum(model.y[j] for j in model.J)==1

model.const_sumy=Constraint(rule=sumy_constraint)

Step 3

求解模型，確定相對有效環境單位數和效率結果

solver=SolverFactory('glpk')
solver.solve(model)

x=pd.Series([model.x[i]() for i in model.I],index=data.columns)
y=pd.Series([model.y[j]() for j in model.J],index=data.index)

Step 4

分析結果，確定應用方法

result=pd.DataFrame({'x':x,'y':y,'z':y/x})
result

五、Data Envelopment Analysis模型的改進

Data Envelopment Analysis模型的改進有很多種，其中最常見的是基於超越率TE和鬆弛度Slack的方法，分別在優化模型的約束中加入一個目標函數，使之更具可信度，但同時也增加了模型的複雜度。

TE模型

model.TE=Expression(expr=sum(x[i] for i in model.I))

def te_constraint(model,j):
    return sum(model.a[j,i]*model.x[i] for i in model.I)>=model.y[j]*model.TE

model.const3=Constraint(model.J,rule=te_constraint)

model.obj2=Objective(expr=model.TE,sense=minimize)

solver.solve(model)

x=pd.Series([model.x[i]() for i in model.I],index=data.columns)
y=pd.Series([model.y[j]() for j in model.J],index=data.index)

result=pd.DataFrame({'x':x,'y':y,'z':y/x})
result

Slack模型

model.Slack=Var(initialize=1)

def slack_constraint(model,j,i):
    return sum(model.a[j,i]*model.x[i] for i in model.I ) +model.Slack>=model.y[j]

model.const4=Constraint(model.J,model.I,rule=slack_constraint)

model.obj3=Objective(expr=model.Slack,sense=minimize)

solver.solve(model)

x=pd.Series([model.x[i]() for i in model.I],index=data.columns)
y=pd.Series([model.y[j]() for j in model.J],index=data.index)

result=pd.DataFrame({'x':x,'y':y,'z':y/x})
result

六、結語

Data Envelopment Analysis作為一種非參數評估方法，可以廣泛應用於各個領域的數據分析與評估中。通過對Data Envelopment Analysis的概念、應用領域、計算過程和改進模型的介紹，希望讀者能更深入地了解此方法，並在實際工作中進行實踐探索。