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Shamir的(t，n)密鑰共享門限方案
既然t=4，你一個2次多項式肯定是不對的，需要一個3次多項式。正確答案應該是k=13+x+2x^3
如何用C語言實現RSA演算法
RSA演算法它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字
命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard
Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。
一、RSA演算法 :
首先, 找出三個數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數
p, q, r 這三個數便是 private key
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了
再來, 計算 n = pq
m, n 這兩個數便是 public key
編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數, 假設 a n
如果 a = n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s = n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 = b n),
b 就是編碼後的資料
解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 = c pq),
於是乎, 解碼完畢 等會會證明 c 和 a 其實是相等的 :)
如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r
所以, 他必須先對 n 作質因數分解
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q,
使第三者作因數分解時發生困難
定理
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq
證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的
證明
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
因為在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z = xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時,
則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) = a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) – 1 = pq | a^(k(p-1)(q-1)) – 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時,
則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
= a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
= q | c – a
因 p | a
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
= p | c – a
所以, pq | c – a = c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上
4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時,
則 pq | a
= c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
= pq | c – a
= c == a mod pq
Q.E.D.
這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n (n = pq)
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 = a n, 0 = c n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解
RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA
的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進位位的大素數。因此，模數n
必須選大一些，因具體適用情況而定。
三、RSA的速度
由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。
四、RSA的選擇密文攻擊
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵–每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公
鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用
One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。
五、RSA的公共模數攻擊
若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：
r * e1 + s * e2 = 1
假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和d』，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。
RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。
RSA演算法是
第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人
們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA
的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能
如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。
RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600
bits
以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標準化。目
前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用比特長的密鑰，其他實體使用比特的密鑰。
C語言實現
#include stdio.h
int candp(int a,int b,int c)
{ int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b–;
}
printf(“%d\n”,r);
return r;
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
char s;
printf(“please input the p,q: “);
scanf(“%d%d”,p,q);
n=p*q;
printf(“the n is %3d\n”,n);
t=(p-1)*(q-1);
printf(“the t is %3d\n”,t);
printf(“please input the e: “);
scanf(“%d”,e);
if(e1||et)
{
printf(“e is error,please input again: “);
scanf(“%d”,e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1) d++;
printf(“then caculate out that the d is %d\n”,d);
printf(“the cipher please input 1\n”);
printf(“the plain please input 2\n”);
scanf(“%d”,r);
switch(r)
{
case 1: printf(“input the m: “); /*輸入要加密的明文數字*/
scanf(“%d”,m);
c=candp(m,e,n);
printf(“the cipher is %d\n”,c);break;
case 2: printf(“input the c: “); /*輸入要解密的密文數字*/
scanf(“%d”,c);
m=candp(c,d,n);
printf(“the cipher is %d\n”,m);break;
}
getch();
}
求正確的RSA加密解密演算法C語言的，多謝。
//rsa.h
#include stdio.h
#define MAX_NUM 63001
#define MAX_PRIME 251
//! 返回代碼
#define OK 100
#define ERROR_NOEACHPRIME 101
#define ERROR_NOPUBLICKEY 102
#define ERROR_GENERROR 103
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ );
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich );
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD );
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e );
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int iLength, int *cw );
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw );
void outputkey();
//rsa.c
#include “rsa.h”
//! 保存私鑰d集合
struct pKeyset
{
unsigned int set[ MAX_NUM ];
unsigned int size;
}pset;
//! 保存公、私鑰對
struct pPairkey
{
unsigned int d;
unsigned int e;
unsigned int n;
}pairkey;
// 名稱：isPrime
// 功能：判斷兩個數是否互質
// 參數：m: 數a; n: 數b
// 返回：m、n互質返回true; 否則返回false
bool isPrime( unsigned int m, unsigned int n )
{
unsigned int i=0;
bool Flag = true;
if( m2 || n2 )
return false;
unsigned int tem = ( m n ) ? n : m;
for( i=2; i=tem Flag; i++ )
{
bool mFlag = true;
bool nFlag = true;
if( m % i == 0 )
mFlag = false;
if( n % i == 0 )
nFlag = false;
if( !mFlag !nFlag )
Flag = false;
}
if( Flag )
return true;
else
return false;
}
// 名稱：MakePrivatedKeyd
// 功能：由素數Q、Q生成私鑰d
// 參數：uiP: 素數P; uiQ: 素數Q
// 返回：私鑰d
unsigned int MakePrivatedKeyd( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int i=0;
//! 得到所有與z互質的數( 私鑰d的集合 )
unsigned int z = ( uiP -1 ) * ( uiQ -1 );
pset.size = 0;
for( i=0; iz; i++ )
{
if( isPrime( i, z ) )
{
pset.set[ pset.size++ ] = i;
}
}
return pset.size;
}
// 名稱：MakePairKey
// 功能：生成RSA公、私鑰對
// 參數：uiP: 素數P; uiQ: 素數Q; uiD: 私鑰d
// 返回：錯誤代碼
unsigned int MakePairkey( unsigned int uiP, unsigned int uiQ, unsigned int uiD )
{
bool bFlag = true;
unsigned int i = 0, e;
unsigned int z = ( uiP-1 ) * ( uiQ-1 );
unsigned int d = pset.set[uiD];
//d=uiD;
if( !isPrime( z, d ) )
return ERROR_NOEACHPRIME;
for( i=2; iz; i++ )
{
if( (i*d)%z == 1 )
{
e = i;
bFlag = false;
}
}
if( bFlag )
return ERROR_NOPUBLICKEY;
if( (d*e)%z != 1 )
ERROR_GENERROR;
pairkey.d = d;
pairkey.e = e;
pairkey.n = uiP * uiQ;
return OK;
}
// 名稱：GetPairKey
// 功能：對外提供介面，獲得公、私鑰對
// 參數：uiP: 素數P; uiQ: 素數Q; uiD: 私鑰d
// 返回：
unsigned int GetPairKey( unsigned int d, unsigned int e )
{
d = pairkey.d;
e = pairkey.e;
return pairkey.n;
}
// 名稱：GetPrivateKeyd
// 功能：對外提供介面，由用戶選擇ID得以私鑰d
// 參數：iWhich: 用戶選擇私鑰d的ID
// 返回：私鑰d值
unsigned int GetPrivateKeyd( unsigned int iWhich )
{
if( pset.size = iWhich )
return pset.set[ iWhich ];
else
return 0;
}
// 名稱：rsa_encrypt
// 功能：RSA加密運算
// 參數：n: 公鑰n; e: 公鑰e; mw: 加密明文; iLength: 明文長度; cw: 密文輸出
// 返回：無
void rsa_encrypt( int n, int e, char *mw, int mLength, int *cw )
{
int i=0, j=0;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; imLength; i++ )
{
temInt = mw[i];
if( e!=0 )
{
for( j=1; je; j++ )
{
temInt = ( temInt * mw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
cw[i] = (int)temInt;
}
}
// 名稱：rsa_decrypt
// 功能：RSA解密運算
// 參數：n: 私鑰n; d: 私鑰d; cw: 密文; cLength: 密文長度; mw: 明文輸出
// 返回：無
void rsa_decrypt( int n, int d, int *cw, int cLength, char *mw )
{
int i=0, j=-1;
__int64 temInt = 0;
for( i=0; icLength/4; ++i )
{
mw[i] = 0;
temInt = cw[i];
if( d != 0 )
{
for( j=1; jd; j++ )
{
temInt = (__int64)( temInt * cw[i] ) % n;
}
}
else
{
temInt = 1;
}
mw[i] = (char)temInt;
}
}
void outputkey()
{
printf(“PublicKey(e,n): (%d,%d)\n”,pairkey.e,pairkey.n);
printf(“PrivateKey(d,n): (%d,%d)\n”,pairkey.d,pairkey.n);
}
//main.c
// 工程：RSA
// 功能：RSA加、解密文件
// 作者：jlcss|ExpNIS
#include stdio.h
#include afxwin.h
#include math.h
#include “rsa.h”
#define DECRYPT_FILE “RSA加密密文.txt”
#define ENCRYPT_FILE “RSA解密明文.txt”
//! 約束文件最大2M
#define MAX_FILE 1024*1024*2
// 名稱：usage
// 功能：幫助信息
// 參數：應用程序名稱
// 返回：提示信息
void Usage( const char *appname )
{
printf( “\n\tusage:rsa -k 素數P 素數Q\n” );
printf( “\tusage: rsa -e 明文文件 公鑰e 公鑰n\n” );
printf( “\tusage: rsa -d 密文文件 私鑰d 私鑰n\n” );
}
// 名稱：IsNumber
// 功能：判斷數字字元數組
// 參數：strNumber:字元數組
// 返回：數字字組數組返回true，否則返回false;
bool IsNumber( const char *strNumber )
{
unsigned int i;
if( !strNumber )
return false;
for ( i = 0 ; i strlen(strNumber) ; i++ )
{
if ( strNumber[i] ‘0’ || strNumber[i] ‘9’ )
return false;
}
return true;
}
// 名稱：IsPrimeNumber
// 功能：判斷素數
// 參數：num: 輸入整數
// 返回：素數返回true，否則返回false;
bool IsPrimeNumber( unsigned int num )
{
unsigned int i;
if( num = 1 )
return false;
unsigned int sqr = (unsigned int)sqrt((double)num);
for( i = 2; i = sqr; i++ )
{
if( num % i == 0 )
return false;
}
return true;
}
// 名稱：FileIn
// 功能：讀取磁碟文件到內存
// 參數：strFile:文件名稱；inBuff:指向文件內容緩衝區
// 返回：實際讀取內容大小(位元組)
int FileIn( const char *strFile, unsigned char *inBuff )
{
int iFileLen=0, iBuffLen=0;
//! 打開密文文件
CFile file( strFile, CFile::modeRead );
iFileLen = ( int )file.GetLength();
if( iFileLenMAX_FILE )
{
printf( “文件長度不能大於 %dM,!\n”, MAX_FILE/(1024*1024) );
goto out;
}
iBuffLen = iFileLen;
inBuff = new unsigned char[iBuffLen];
if( !inBuff )
goto out;
ZeroMemory( inBuff, iBuffLen );
file.Read( inBuff, iFileLen );
file.Close();
out:
return iBuffLen;
}
// 名稱：FileOut
// 功能：加/解密結果輸出到當前目錄磁碟文件中
// 參數：strOut指向輸出字元緩衝區，輸出大小len，strFile為輸出文件
// 返回：無
void FileOut( const void *strOut, int len, const char *strFile )
{
//! 輸出到文件
CFile outfile( strFile , CFile::modeCreate | CFile::modeWrite );
outfile.Write( strOut , len );
outfile.Close();
}
// 名稱：CheckParse
// 功能：校驗應用程序入口參數
// 參數：argc等於main主函數argc參數，argv指向main主函數argv參數
// 返回：若參數合法返回true，否則返回false
// 備註：簡單的入口參數校驗
bool CheckParse( int argc, char** argv )
{
bool bRes = false;
if( argc != 4 argc != 5 )
goto out;
if( argc == 4 argv[1][1] == ‘k’ )
{
//! 生成公、私鑰對
if( !IsNumber( argv[2] ) ||
!IsNumber( argv[3] ) ||
atoi( argv[2] ) MAX_PRIME ||
atoi( argv[3] ) MAX_PRIME )
goto out;
}
else if( (argc == 5) (argv[1][1] == ‘e’ || argv[1][1] == ‘d’) )
{
//! 加密、解密操作
if( !IsNumber( argv[3] ) ||
!IsNumber( argv[4] ) ||
atoi( argv[3] ) MAX_NUM ||
atoi( argv[4] ) MAX_NUM )
goto out;
}
else
Usage(*argv);
bRes = true;
out:
return bRes;
}
// 名稱：kOption1
// 功能：程序k選項操作：由素數P、Q生成私鑰d集合
// 參數：uiP: 程序入口參數P; uiQ: 程序入口參數Q
// 返回：執行正確返回生成私鑰數目，否則返回0
unsigned int kOption1( unsigned int uiP, unsigned int uiQ )
{
unsigned int uiRes = 0;
if( !IsPrimeNumber( uiP ) )
{
printf( “P輸入錯誤，P必須為(0, %d]素數”, MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( !IsPrimeNumber( uiQ ) )
{
printf( “Q輸入錯誤，Q必須為(0, %d]素數”, MAX_PRIME );
return uiRes;
}
if( uiP == uiQ )
{
printf( “素數P與素數Q相同，很容易根據公鑰n開平方得出素數P和Q，這種加密不安全，請更換素數!\n” );
return uiRes;
}
printf( “正在生成私鑰d集合……\n” );
uiRes = MakePrivatedKeyd( uiP, uiQ );
return uiRes;
}
//! 程序主函數
int main( int argc, char **argv )
{
unsigned int p , q , d , n , e;//two prime p q, public key(n, e) , private key(n , d)
CheckParse(argc, argv );
d=4828; //uid
if(argc == 4)
{
p = atoi( argv[2] );
q = atoi( argv[3] );
MakePrivatedKeyd(p, q);
MakePairkey(p, q, d );
outputkey();
}
else if(argc == 5)
{
char FileName[20];
strcpy(FileName, argv[2]);
int len;
if(argv[1][1] == ‘e’ )
{
unsigned char *inBuffer=(unsigned char *)malloc(MAX_FILE); //輸入緩衝區
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName , inBuffer);
e = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_encrypt( n, e, (char *)inBuffer, len, cw );
FileOut( cw, 4*len, DECRYPT_FILE );
}
else if(argv[1][1] == ‘d’)
{
char *Buffer=(char *)malloc(MAX_FILE); //輸入緩衝區
int *cw=(int *)malloc(MAX_FILE);
len = FileIn(FileName, (unsigned char *)cw);
d = atoi(argv[3]);
n = atoi(argv[4]);
rsa_decrypt( n, d, cw, len, Buffer );
FileOut( Buffer, len/4, ENCRYPT_FILE );
}
}
return 0;
}
原創文章，作者：小藍，如若轉載，請註明出處：https://www.506064.com/zh-tw/n/257436.html
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