析取範式和合取範式

在邏輯學中，析取範式和合取範式分別是命題邏輯中某些命題的標準化形式，它們是由命題變數和邏輯運算符組成的組合式。

一、析取範式

1、什麼是析取範式？

在命題邏輯中，析取範式是由若干個含有變數的析取式進行「與」運算而得到的命題。

2、析取範式的含義

如果一個命題是由多個命題「或」起來的，則我們可以將其表示為一個含有變數的析取式。

例如：

((p1 ∨ p2) ∧ (p1 ∨ ¬p2) ∧ (¬p1 ∨ p2))

這個式子可以表示為：如果 p1 與 p2 中至少有一個成立，那麼命題就成立。

3、如何將一個命題轉化為它的析取範式？

我們可以使用以下步驟將一個命題轉化為它的析取範式：

1、將命題中的「與」運算符轉化為「或」運算符；

2、根據「或」運算符的結合律，將多個變數的「或」運算符進行合併；

3、根據德摩根定律，對含有「非」運算符的變數進行變形，得到不含有「非」運算符的項。

例如，對於命題(p → q) ∧ (¬p ∨ r)，我們可以按以下步驟轉化為析取範式：

1、將命題中的「與」運算符轉化為「或」運算符：

(p → q) ∧ (¬p ∨ r) = (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

2、根據「或」運算符的結合律，將多個變數的「或」運算符進行合併：

(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ r) = (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ r) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ r)

3、根據德摩根定律，對含有「非」運算符的變數進行變形，得到不含有「非」運算符的項：

(¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ r) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ r) = (q ∧ p) ∨ (¬p ∧ r)

4、示例代碼

function toDNF(expr) {
    // 將「與」運算符轉化為「或」運算符
    expr = expr.replace(/∧/g, '∨');

    // 對含有「非」運算符的變數進行變形
    let matches = null;
    let re = /¬?\w+/g;

    while ((matches = re.exec(expr)) !== null) {
        let variable = matches[0];

        if (variable.charAt(0) === '¬') {
            let pos = expr.indexOf(variable);
            let start = pos - 1;
            let length = variable.length + 1;

            if (pos === 0) {
                expr = expr.substring(length);
            } else if (expr.charAt(start) === '∨') {
                expr = expr.substring(0, start) + expr.substring(start + length);
            } else if (expr.charAt(start) === '∧') {
                let left = expr.substring(0, start);
                let right = expr.substring(pos + length);

                expr = left + '¬' + variable.substring(1) + '∨' + '¬(' + variable.substring(1) + ')' + right;
            }
        }
    }

    // 將多個變數的「或」運算符進行合併
    expr = expr.split('∨').filter(function (item, pos, self) {
        return self.indexOf(item) === pos;
    }).join('∨');

    return expr;
}

console.log(toDNF('(p → q) ∧ (¬p ∨ r)'));

二、合取範式

1、什麼是合取範式？

在命題邏輯中，合取範式是由若干個含有變數的合取式進行「或」運算而得到的命題。

2、合取範式的含義

如果一個命題是由多個命題「與」起來的，則我們可以將其表示為一個含有變數的合取式。

例如：

((p1 ∧ ¬p2) ∨ (¬p1 ∧ p2))

這個式子可以表示為：如果 p1 與 ¬p2 同時成立，或者 ¬p1 與 p2 同時成立，那麼命題就成立。

3、如何將一個命題轉化為它的合取範式？

我們可以使用以下步驟將一個命題轉化為它的合取範式：

1、將命題中的「或」運算符轉化為「與」運算符；

2、根據「與」運算符的結合律，將多個變數的「與」運算符進行合併；

3、根據德摩根定律，對含有「非」運算符的變數進行變形，得到不含有「非」運算符的項。

例如，對於命題(p → q) ∧ (¬p ∨ r)，我們可以按以下步驟轉化為合取範式：

1、將命題中的「或」運算符轉化為「與」運算符：

(p → q) ∧ (¬p ∨ r) = (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

2、根據「與」運算符的結合律，將多個變數的「與」運算符進行合併：

(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ r) = (¬p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r)

3、根據德摩根定律，對含有「非」運算符的變數進行變形，得到不含有「非」運算符的項：

(¬p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r) = ((¬p ∨ q ∨ r) ∧ p) ∨ ((¬p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p))

4、示例代碼

function toCNF(expr) {
    // 將「或」運算符轉化為「與」運算符
    expr = expr.replace(/∨/g, '∧');

    // 對含有「非」運算符的變數進行變形
    let matches = null;
    let re = /¬?\w+/g;

    while ((matches = re.exec(expr)) !== null) {
        let variable = matches[0];

        if (variable.charAt(0) === '¬') {
            let pos = expr.indexOf(variable);
            let start = pos - 1;
            let length = variable.length + 1;

            if (pos === 0) {
                expr = expr.substring(length);
            } else if (expr.charAt(start) === '∨') {
                let left = expr.substring(0, start);
                let right = expr.substring(pos + length);

                expr = left + '¬' + variable.substring(1) + '∧' + '¬(' + variable.substring(1) + ')' + right;
            } else if (expr.charAt(start) === '∧') {
                expr = expr.substring(0, start) + expr.substring(start + length);
            }
        }
    }

    // 將多個變數的「與」運算符進行合併
    expr = expr.split('∧').filter(function (item, pos, self) {
        return self.indexOf(item) === pos;
    }).join('∧');

    return expr;
}

console.log(toCNF('(p → q) ∧ (¬p ∨ r)'));

三、小結

在命題邏輯中，析取範式和合取範式是兩種標準化的命題表達方式。通過將一個命題轉化為它的析取範式或合取範式，我們可以快速簡化命題，從而更方便地進行推理和計算。在實際編程中，我們可以編寫相關函數，幫助我們將命題轉化為它的標準化表達形式。