什麼是Expected Shortfall?

一、什麼是Expected Shortfall？

Expected Shortfall（ES），也稱為條件價值-at-risk （Conditional Value-at-Risk, CVaR），是一種基於風險度量的方法，旨在評估金融投資組合（portfolio）的風險。ES被定義為某個特定置信水平下，超出VaR（Value-at-Risk，風險價值）的部分的期望，是VaR的一種補充方法。

假設VaR方法測量的是與概率$\alpha$相對應的投資組合損失的上限，為$L_{\alpha}$。然而，VaR方法有缺陷，它假定酷的情境是期望的情況，而這是極端的假設。VaR只能告訴我們最壞的情況，而ES告訴我們在最壞情況下，實際會發生的平均情況。ES度量預計在超過VaR的損失上方的平均損失的程度，假設這種損失是不可避免的。

二、ES與VaR之間的關係

VaR是定義在某個特定置信水平的最大損失量，它描述了一種潛在的金融風險，其重心在於損失上限。ES測量的是在VaR損失上限之上的可能損失，並給出了其期望值。ES的重點在於超過VaR之後的平均損失程度，因此它提供了更全面的風險度量。

因此，ES是VaR的補充性風險度量方法。VaR是風險度量的常規方法，因為它非常容易計算和解釋，但是只考慮了VaR上限附近的情況。ES估計超出VaR損失限制的平均影響，在我們需要應對極端事件時，ES比VaR更有用，更能夠應對意想不到的事件。

三、如何計算Expected Shortfall？

如果採用VaR定義$L_\alpha$, 則ES可以定義為:

$$ES_{\alpha}=-\int_{-\infty}^{-L_{\alpha}}x\frac{\mathrm{dF}(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$$

其中，$\mathrm{F}(x)$是投資組合損失分布的累積分布函數。

簡單來說，這個公式計算了在超出VaR限制的損失上方的平均損失。我們採用概率密度函數來獲得所有可能的結果，同時用$-\int_{-\infty}^{-L_{\alpha}}xdF(x)$來計算損失的期望，這對於我們確定可能產生的未來問題很重要。

四、代碼實現示例

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def get_es(alpha, returns):
    """
    計算Expected Shortfall
    :param alpha: 置信水平，範圍在0-1之間
    :param returns: 所有投資回報的序列，必須是按時間排序
    :return: returns序列的Expected Shortfall
    """
    # 計算VaR
    var = norm.ppf(1 - alpha) * np.std(returns)
    # 計算ES
    return -np.mean(returns[returns < -var])

# 示例代碼
alpha = 0.95
returns = np.array([0.1, -0.05, -0.02, -0.01, -0.09, 0.07, 0.01, -0.02])
es = get_es(alpha, returns)
print(f"Expected Shortfall at {alpha} confidence level is {es:.4f}.")

五、ES的應用

ES可以用於測量投資組合的風險，尤其是在極端風險情況下的情況。ES適合於基於投資組合而不是個別資產進行投資決策的投資者。決策者必須考慮不同的置信水平和投資組合集合的特定投資策略。實際上，越高的置信水平會導致更高的ES，因為在這種情況下，我們預計預測失誤的可能性降低。

ES可以用於管理金融市場風險，幫助投資者理解他們在可能結果範圍內可能遭受的損失。在金融市場，投資公司、銀行等都使用ES評估他們的風險暴露，以幫助他們管理決策風險。

此外，ES的概念已擴展到其他行業，如能源和環境領域，以幫助管理潛在的負面影響。