定點數和浮點數的細節講解

一、了解定點數和浮點數

計算機中的實數處理一般有兩種方法：定點數和浮點數。定點數指的是小數點位置固定的數值，典型的例子是貨幣的計算，小數點後兩位即為分。

浮點數指的是小數點位置可以向左或向右浮動的數值，這裡的「浮動」指的是小數點對數值精度的影響。

比如，$1.23 \times 10^4$和$12.3 \times 10^3$都可以用科學計數法表示為1.23e+04，但是前者的小數點的位置在大數的後面，而後者小數點的位置在大數的前面。所以，浮點數的表示範圍相對較大，但是精度相對較低。

二、定點數的詳解

在計算中，我們通常需要進行浮點數（實數）和定點數（整數）之間的轉換。有時候，我們需要把實數乘以一個精度因子，再將其轉換成整數，這就是定點數的表示方法。

#include <stdio.h>

#define Q        8        // 小數部分的位數
#define QQ        (1<<Q)    // 2^Q
#define QQ2       (1< %d\n", a, a_fix);
    printf("b: %.2lf -> %d\n", b, b_fix);
    printf("a+b: %.4lf\n", fix(a_fix + b_fix));
    return 0;
}

上述代碼實現了將小數部分為8位的實數轉化為整數操作，例如將2.25轉換為$2.25 \times 2^8=576$。

三、浮點數的詳解

在計算機內部，單精度浮點數32位，雙精度浮點數64位。由於存儲空間的限制，無法完全精確地表示實數。所以，計算機內部的浮點數通常採用科學計數法表示，在IEEE754標準中，單精度浮點數最高位表示符號，接著是指數部分，然後是尾數部分。

#include <stdio.h>

int main()
{
    float a = 1.2345;
    double b = 12.345;
    printf("a: %.10f\n", a);
    printf("b: %.15lf\n", b);
    return 0;
}

輸出結果為:

a: 1.2344999313
b: 12.345000000000000

從輸出結果可以看出，浮點數的精度不如定點數高。

四、小數點的移位問題

在浮點數的運算中，容易出現小數點的移位問題。比如，我們需要將一個浮點數加上一個整數，但是因為小數點位置的不同，可能會出現問題。

#include <stdio.h>

int main()
{
    double a = 1.0, b = 100000000000.0;
    int c = 1;
    printf("a+b: %.1lf\n", a+b);          // 輸出：100000000001.0
    printf("(a+c)+b: %.1lf\n", (a+c)+b);    // 輸出：100000000002.0
    printf("a+(c+b): %.1lf\n", a+(c+b));    // 輸出：100000000001.0
    return 0;
}

從輸出結果可以看出，在浮點數的運算中，加法並不滿足結合律。

五、避免浮點數誤差

為了避免浮點數運算中出現誤差，我們可以採用避免小數點移位的方法，即將小數轉換為整數進行運算。

#include <stdio.h>

int main()
{
    double a = 1.0, b = 100000000000.0;
    int a_fix = a * 1000;
    int b_fix = b;
    printf("a_fix+b_fix: %.1lf\n", (double)(a_fix+b_fix)/1000);    // 輸出：100000000001.0
    return 0;
}

上述代碼中，我們將浮點數乘以一個精度因子1000，再將其轉換為整數進行計算。最後再將計算結果轉換為浮點數。

六、整數溢出問題

在使用定點數時，有可能會出現整數溢出的問題。當定點數的位數不夠用時，需要向左移動小數點，此時整數位數就會增加，如果整數位數過大，就會超出計算機所能表示的範圍。

#include <stdio.h>

#define Q        3        // 小數部分的位數
#define QQ        (1<<Q)    // 2^Q
#define fract(x)  ((int)((x)*QQ+0.5))
#define fix(x)    ((double)(x)/QQ)

int main()
{
    double a = 128.0;
    int a_fix = fract(a);
    printf("a_fix: %d\n", a_fix);
    printf("2*a_fix: %d\n", 2*a_fix);  // 輸出：512，已經溢出
    return 0;
}

因此，在使用定點數時，要注意定點數的整數和小數部分的位數，以免溢出。