蓄水池演算法

一、蓄水池演算法簡介

蓄水池演算法是一種隨機演算法，用於從數據流中等概率地隨機選擇k個數據，其中數據流長度未知或太大而無法一次性處理。此演算法是一個在線演算法，它以一個可處理的輸入序列的若干個子集作為輸入。該演算法的核心思想是通過對數據流中的每個數據進行隨機選擇與替換，最終保證每個數據都有等概率地被選擇到。

二、蓄水池演算法證明

考慮數據流中第i個元素，設k = 1時，即需要從i個元素中進行等概率的隨機選擇，每個元素被選擇的概率為1/i，即前i-1個元素未被選擇，第i個元素被選擇的概率為1/i。當k > 1時，前k-1個元素都以等概率1/i的概率被選擇到，第k個元素以等概率k/i的概率被替換到前k個元素中的一個，即不被替換到的概率為1-k/i。因此，第k個元素被選擇的概率為(1/i) * (k/i-1/k) = k/i，即每個元素最終被選擇到的概率是相等的。

因此，蓄水池演算法能夠保證每個數據都有等概率地被選擇到，且時間複雜度為線性。

三、蓄水池演算法應用

蓄水池演算法可以廣泛應用於從一個非常大的數據集合中隨機選擇一定數量的元素，例如從大規模的電影數據集合中隨機選擇一部分進行評測。

四、蓄水池演算法 leetcode

在leetcode中，蓄水池演算法可以用於隨機從一個數據流中選擇k個數。例如，題目382. Linked List Random Node要求從一個鏈表中隨機選擇一個節點，可以使用蓄水池演算法解決。具體實現代碼如下：

class Solution {
public:
    ListNode* head;
    
    Solution(ListNode* head) {
        this->head = head;
    }
    
    int getRandom() {
        ListNode* node = head->next;
        int result = head->val;
        int count = 1;
        while (node) {
            int rand_int = rand() % (++count);
            if (rand_int == 0) {
                result = node->val;
            }
            node = node->next;
        }
        return result;
    }
};

五、蓄水池抽樣

蓄水池抽樣是蓄水池演算法的一種擴展，它不僅能夠從數據流中等概率地隨機選擇k個數據，還能夠對每個數據元素進行賦權，使得隨機選擇的概率與其權重成正比。例如，從大規模的電影數據集合中隨機選擇一部分進行評測，並考慮不同電影之間的權重差異。

六、蓄水池抽樣演算法

蓄水池抽樣演算法與蓄水池演算法的思想類似，只是需要對每個數據元素進行權重賦值，並使用加權隨機數進行選擇。具體實現可以使用以下的偽代碼：

S = array of size k
w = array of weight of size k
i = 1
while there are elements in the input stream and i <= k
    read element x from the input stream
    if i <= k then
        S[i] = x
        w[i] = weight of x
    else
        j = a random integer from 1 to i (inclusive)
        if j <= k then
            S[j] = x
            w[j] = weight of x
    i = i + 1
for each element x in the input stream
    i = a random integer from 1 to k (inclusive) with probability w[i] / sum(w)
    if i <= k then
        replace S[i] with x
        replace w[i] with weight of x
return S

七、蓄水池容積計算方法

如果我們需要從一個蓄水池中計算其容積，即需要知道所選中的元素最小值與最大值之間的元素個數。此時，可以在蓄水池演算法的基礎上，記錄下所選中的最小值與最大值，以及它們在所有數據中的位置。具體實現代碼如下：

struct Element {
    int val;
    int pos;
};

vector reservoir_sampling(vector& nums, int k) {
    vector res;
    int i, j;
    for (i = 0; i < k; i++) {
        Element element;
        element.val = nums[i];
        element.pos = i;
        res.push_back(element);
    }
    for (; i < nums.size(); i++) {
        j = rand() % i;
        if (j < k) {
            Element element;
            element.val = nums[i];
            element.pos = i;
            res[j] = element;
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end(), [](const Element& a, const Element& b){
        return a.val < b.val;
    });
    int left = min(res[0].pos, res[k-1].pos);
    int right = max(res[0].pos, res[k-1].pos);
    int cnt = 0;
    for (i = left; i = res[0].val && nums[i] <= res[k-1].val) {
            cnt++;
        }
    }
    return cnt;
}

八、長方形蓄水池立方計算方法

如果我們需要從一個長方形蓄水池中計算其立方體積，即需要知道所有元素組成的立方體體積。此時，可以在蓄水池演算法的基礎上，記錄下所選中的最小值與最大值，以及它們所在的列號、行號，從而確定蓄水池的大小。具體實現代碼如下：

struct Element {
    int val;
    int row, col;
};

vector reservoir_sampling(vector<vector>& nums, int k) {
    int m = nums.size();
    int n = nums[0].size();
    vector res;
    int i, j;
    for (i = 0; i < k; i++) {
        Element element;
        element.val = nums[i/n][i%n];
        element.row = i / n;
        element.col = i % n;
        res.push_back(element);
    }
    for (; i < m * n; i++) {
        j = rand() % i;
        if (j < k) {
            Element element;
            element.val = nums[i/n][i%n];
            element.row = i / n;
            element.col = i % n;
            res[j] = element;
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end(), [](const Element& a, const Element& b){
        return a.val < b.val;
    });
    int row_begin = min(res[0].row, res[k-1].row);
    int row_end = max(res[0].row, res[k-1].row);
    int col_begin = min(res[0].col, res[k-1].col);
    int col_end = max(res[0].col, res[k-1].col);
    int sum = 0;
    for (i = row_begin; i <= row_end; i++) {
        for (j = col_begin; j <= col_end; j++) {
            sum += nums[i][j];
        }
    }
    return sum * ((row_end - row_begin + 1) * (col_end - col_begin + 1));
}

九、蓄水池演算法難嗎

蓄水池演算法的思想簡單，但代碼實現需要考慮各種邊界情況，容易出錯。比如在刪除替換後的元素時，需要判斷數組是否越界；在計算蓄水池容積時，需要考慮最小值與最大值之間是否存在漏洞。

總的來說，蓄水池演算法並不算很難，但需要熟練掌握數組與指針的操作，以及簡單排序演算法的實現，才能夠快速、準確地解決各種問題。