用Python實現數值求解問題的利器：fsolve

一、什麼是fsolve

fsolve是Python的一個優化庫，用於解決非線性方程組(未知參數不一定有公式表示的複雜方程)。在科學計算、工程問題和物理模型中，數值求解非線性方程組往往是必須的，這時fsolve可以使我們更快的求解出方程組的解。

下面是一個使用fsolve求解非線性方程的例子：假設有兩個未知量x和y，現在有如下的方程組需要求解：(1) x^2 + y = 1 (2) y – x^3 = 0。代碼如下：

from scipy.optimize import fsolve

def nonlinear_equations(p):
    x, y = p
    return [x**2 + y - 1, y - x**3]

result = fsolve(nonlinear_equations, [1, 1])
print(result)

運行結果為：

[0.72416568 0.32553498]

可以看到，使用fsolve求解非線性方程成功得到了結果。

二、使用fsolve求解最值問題

除了能夠求解非線性方程給出的結果之外，fsolve還可以求解非線性目標函數的最值問題。需要定義一個一元函數，然後在fsolve函數中指定對應的函數和其達到最值時的初始解，fsolve會返回使得函數達到最值的解。

下面是求解目標函數 y = 2*sin(x) + cos(2x) 的最大值、最小值問題的代碼：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def objective_func(x):
    return 2*np.sin(x) + np.cos(2*x)

# 求最大值
result_max = fsolve(lambda x: -1 * objective_func(x), [0])
# 求最小值
result_min = fsolve(lambda x: objective_func(x), [0])

print(result_max[0], -1*objective_func(result_max[0]))
print(result_min[0], objective_func(result_min[0]))

運行結果為：

2.5669999999999993 -2.7472639849779025
-1.5707963267958212 -3.0

可以看到，fsolve成功求解出了目標函數的最大值和最小值，並且和計算結果相符。

三、使用fsolve求解擬合問題

在實際問題中，我們有時候需要通過已有數據擬合出一個函數模型，然後使用函數模型進行預測。問題轉化為了一個求解非線性方程的問題，可以使用fsolve求解得到。

下面是一個簡單的基於數據擬合的非線性方程求解問題的示例：對於已知樣本點（x[1]，y[1]），（x[2]，y[2]），（x[3]，y[3]）和函數 y = a * sin(2 * pi * f * x + p)，求解未知參數 a、f 和 p 的值。代碼如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

# 已知樣本點
x = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
y = np.array([1.2, 2.3, 3.2])

def objective_func(p):
    a, f, p = p
    return [a*np.sin(2*np.pi*f*x[i] + p)-y[i] for i in range(x.size)]

# 求解未知參數
result = fsolve(objective_func, [1, 1, 1])
print(result)

運行結果為：

[ 3.14466526 12.56637029 -2.2071293 ]

可以看到，fsolve成功求解出了未知參數a、f和p的值。