小批量隨機梯度下降

一、什麼是隨機梯度下降？

隨機梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）是一種常用的，用於求解最小二乘問題（包括線性回歸和邏輯回歸）的優化演算法。SGD的主要思想是在每次迭代中，選擇其中一個樣本來計算梯度。

對於一個損失函數（loss function）L(θ)，其被最小化的任務是：找到一組參數 θ₀, θ₁ … θₙ，使得損失函數 L(θ) 達到最小值。在SGD中，我們首先選擇一個初始參數，然後對於每個訓練數據xᵢ，使用它來更新模型的參數。具體的，每次更新的公式為：

    θ ← θ - α∇L(θ; xⁱ)

其中，α是學習率（learning rate），∇L(θ; xⁱ) 是樣本xⁱ對於θ的梯度（gradient），表示模型在當前狀態下，沿著梯度方向移動的速度。

二、什麼是小批量隨機梯度下降？

在實際應用中，我們往往並不會在每次迭代中只用單個樣本來更新參數，而是採用一小批樣本的平均梯度來更新參數，這種方法被稱為小批量隨機梯度下降（Mini-batch Stochastic Gradient Descent, MSGD）。

與SGD相比，MSGD可以更穩定地找到一組局部最優的參數，因為每一次前向傳播（Forward propagation）和反向傳播（Backward propagation）都使用了一組樣本的平均信息。

三、小批量隨機梯度下降的實現

實現MSGD的步驟可以分為以下幾步：

1、首先，我們定義訓練集。在本文中，我們使用一個模擬的數據集：y=2x+1+ϵ，其中，x為一個隨機的二維數組，ϵ為服從正態分布的隨機雜訊。

    import numpy as np
    
    np.random.seed(42)
    X = np.random.rand(100, 2)
    y = 1 + 2 * X[:, 0] + 3 * X[:, 1] + np.random.randn(100)

2、然後，我們定義隨機初始化參數θ，並設置學習率、批量大小、迭代次數：

    theta = np.random.randn(3, 1)
    eta = 0.1
    n_epochs = 50
    batch_size = 3

3、接下來，我們可以定義一個迭代函數，用於隨機選擇一批樣本數據，並根據這些數據來更新參數：

    def fetch_batch(X, y, batch_size):
        rnd_indices = np.random.permutation(len(X))
        n_batches = len(X) // batch_size
        for batch_idx in np.array_split(rnd_indices, n_batches):
            X_batch, y_batch = X[batch_idx], y[batch_idx]
            yield X_batch, y_batch
    
    for epoch in range(n_epochs):
        for X_batch, y_batch in fetch_batch(X, y, batch_size):
            X_b = np.c_[np.ones((len(X_batch), 1)), X_batch]
            gradients = 2 / len(X_batch) * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y_batch.reshape(-1, 1))
            theta -= eta * gradients

其中，fetch_batch定義了迭代過程中每個批次的樣本，其中rand_indices指定了每個epoch的樣本順序，利用np.array_split可以將樣本按照batch_size拆分，最後用X_batch和y_batch的數據進行梯度的計算和更新。

四、小結

本文介紹了隨機梯度下降及其變種小批量隨機梯度下降，並給出了在Python中如何實現該演算法。任何時候，在實際應用中，必須要少量地處理證明梯度演算法的正確性。因此，在實際應用時使用小批量隨機梯度下降可能是一個很好的選擇，實現其可通過控制批量大小，權衡模型精度和運行時間。