Beta分布詳解

一、Beta分布簡介

Beta分布是一種概率分布，在概率統計中得到廣泛應用。它是指定一組隨機變數(概率)的概率分布。Beta分布可能是在區間[0,1]上的連續概率分布, 它取決於兩個形狀參數a和b。特別地, 概率密度函數為:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6d736e2e6b2b440abc42f77566c656f0d75c33" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.348ex; height:6.176ex;" alt="f(x;a,b)=\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}" />

其中B(a,b)為Beta函數(Beta function):

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444e39b256d13e7ccc0ea1638585ecebfa6f6370" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.722ex; height:2.843ex;" alt="B(a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}&nbsp;dx" />

二、Beta分布的應用

1、貝葉斯統計

Beta分布廣泛用於貝葉斯統計中，其中Beta分布作為先驗分布，表示一個概率的先驗分布。在觀察到數據後，根據貝葉斯定理，可以得到一個後驗分布，減少了對數據量的依賴，同時考慮了經驗信息和先驗信息。比如，假設觀測到一些二分類數據，並且對分類器進行訓練，得到一個概率等於0.7的後驗分布(Beta分布)。如果繼續收集數據，可以使用Beta分布更新這個概率。

2、優化演算法參數估計

Beta分布可以用於優化演算法，例如評估二進位搜索特定問題的總運行時間。Beta分布可以描述一個結果最終有多大的概率會達到一定的被認為是「成功」的閾值。例如，一個網站希望將新用戶轉化為管理員，而管理員的轉化率為0.3。將Beta分布作為轉化率的概率分布，則可以通過數據不斷更新這個概率的分布，優化轉化率的估計。

3、廣告點擊率估計

Beta分布可以用於在線廣告的點擊率估計。可以將點擊率看作一個二項分布，結合Beta分布得到更準確的後驗分布，進一步優化廣告策略。

三、Beta分布代碼示例

#導入相關庫
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta

#設置Beta分布的參數
a, b = 2, 5

#隨機生成符合Beta分布的樣本
samples = beta.rvs(a, b, size=10000)

#畫Beta分布的概率密度函數圖像
x = np.linspace(0, 1, 1000)
y = beta.pdf(x, a, b)
plt.plot(x, y, label='Beta PDF')

#畫隨機生成的Beta分布的樣本的直方圖
plt.hist(samples, bins=100, density=True, alpha=0.5, label='Samples');

#顯示圖像
plt.legend()
plt.show()